北京市昌平区2022- 2023学年八年级上学期期中质量监控数学试卷

试卷更新日期：2022-11-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列实数是无理数的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、9

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2. 36的平方根是（）

A、6 B、-6 C、4或9 D、±6

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3. 二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 中字母x的取值范围是（）

A、x≥1 B、x≤1 C、x＞1 D、x＜1

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4. 下列分式中，是最简分式的是（）．

A、 $\frac{x^{2}}{x}$ B、 $\frac{2 x}{4 x - 2 y}$ C、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$ D、 $\frac{2}{x - 3}$

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5. 下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} = \frac{b c}{a c}$ B、 $\frac{b}{a} = \frac{b + c}{a + c}$ C、 $\frac{b}{a} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ D、 $\frac{b}{a} = \frac{a b}{a^{2}}$

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6. 若最简二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 x}$ 是同类二次根式，则x的值为（）

A、x＝0 B、x＝1 C、x＝2 D、x＝3

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7. 如果把分式 $\frac{2 x}{3 x - 2 y}$ 中的x，y都扩大3倍，那么分式的值 $($ $)$

A、扩大3倍 B、不变 C、缩小3倍 D、扩大2倍

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8. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值是 $2$ ”．其推导方法如下：在面积是 $1$ 的矩形中设矩形的一边长为 $x$ ，则另一边长是 $\frac{1}{x}$ ，矩形的周长是 $2 (x + \frac{1}{x})$ ；当矩形成为正方形时，就有 $x = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，解得 $x = 1$ ，这时矩形的周长 $2 (x + \frac{1}{x}) = 4$ 最小，因此 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值是 $2$ ．模仿张华的推导，你求得式子 $\frac{x^{2} + 4}{x} (x > 0)$ 的最小值是（）．

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{x - 2}{x}$ 的值是0，则x的值为．

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10. 比较大小：3²2³ ．

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11. $\frac{1}{2 a^{2} b}$ 与 $\frac{2}{3 a b^{3} c}$ 的最简公分母是．

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12. 在实数范围内分解因式 $x^{3} - 5 x$ =.

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13. 若 $\frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = 1$ ，请写出一个符合条件的 $x$ 的值．

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14. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ，则分式 $\frac{2 x + 3 x y - 2 y}{x - 2 x y - y}$ 的值为．

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15. 若 $\sqrt{14}$ 的小数部分为 $a$ ，整数部分为 $b$ ，则 $a \cdot (\sqrt{14} + b)$ 的值为.

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16. 对于正数x，规定 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ． $f (1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} ， f (2) = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3} ， f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，则：

(1)、 $f (x) + f (\frac{1}{x}) =$ ；

(2)、 $f (2020) + f (2019) + \cdot \cdot \cdot + f (2) + f (1) + f (\frac{1}{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{1}{2019}) + f (\frac{1}{2020})$ = ．

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三、解答题

17. 计算： $(\frac{b}{2 a})^{2} \div (- \frac{a}{3 b}) \times \frac{4 a}{b^{3}}$ ．

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18. 计算： $\frac{a + 2 b}{a - b} - \frac{2 a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$

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19. 计算： $\sqrt{\frac{b}{a}} \times \sqrt{\frac{a^{3}}{b}} \div \sqrt{a b}$

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20. 计算： $(\frac{x + 1}{x^{2} - x} - \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{1}{x}$

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21. 计算： $\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{{(- 3)}^{2}} - \sqrt{27} + \sqrt[3]{- 8}$

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22. 解分式方程： $\frac{2 x}{x + 3}$ +1= $\frac{7}{2 x + 6}$ ．

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23. 先化简分式 $(\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{1 - a}) \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 1}$ ，再从－2，－1，1， $\sqrt{2}$ 这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．

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24. 列方程解应用题
2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？

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25. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，可得 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 互为倒数，即 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ 或 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ ，类似地， $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，可得 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ 或 $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
根据小明发现的规律，解决下列问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ $(n$ 为正整数）

(2)、若 $\frac{1}{2 \sqrt{3} + a} = 2 \sqrt{3} - a$ ，则 $a =$

(3)、求 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ 的值.

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26. 现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：
$x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2 ， x_{2} = \frac{1}{2}$ ；
$x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3 ， x_{2} = \frac{1}{3}$ ；
$x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $x_{1} = 4 ， x_{2} = \frac{1}{4}$ ；

(1)、猜想关于x的方程 $x + \frac{1}{x} = 5 + \frac{1}{5}$ 的解是；

(2)、猜想关于x的方程 $x ＋ \frac{1}{x} ＝ a ＋ \frac{1}{a}$ 的解是；

(3)、用上述方法求关于 $x$ 的方程 $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = a + \frac{1}{a + 1}$ 的解．

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27. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：

(1)、具体运算，发现规律．
特例1： $\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ ，
特例2： $\sqrt{2 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 - 2}{5}} = \sqrt{\frac{2 \times (5 - 1)}{5}} = 2 \sqrt{\frac{2}{5}}$ ，
特例3： $\sqrt{3 - \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{3 \times 10 - 3}{10}} = \sqrt{\frac{3 \times (10 - 1)}{10}} = 3 \sqrt{\frac{3}{10}}$ ，
特例4： $\sqrt{4 - \frac{4}{17}} = 4 \sqrt{\frac{4}{17}}$ ，
特例5： $\sqrt{5 - \frac{5}{26}} =$ （填写运算结果）；

(2)、观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：；

(3)、证明你的猜想．

(4)、应用运算规律：
①化简： $\sqrt{9 - \frac{9}{82}} \times \sqrt{\frac{164}{3}} =$ ；
②若 $\sqrt{a - \frac{a}{65}} = 8 \sqrt{\frac{8}{b}}$ （a，b均为正整数），则 $a － b$ 的值为．

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28. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 是“和谐分式”．

(1)、下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
① $\frac{x + 3}{3}$ ② $\frac{x - 5}{x}$ ③ $\frac{x - 1}{x + 2}$ ④ $\frac{x + 1}{x^{2}}$

(2)、请将“和谐分式” $\frac{x^{2} + 6 x + 3}{x + 3}$ 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；

(3)、应用：先化简 $(x - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x + 1}{x^{2} + 6 x}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

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