重庆市2023届高三上学期数学第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x^{2}}}$ ， $B = {x | cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ C、 $(- \frac{π}{6} ， 1]$ D、 $[- 1 ， \frac{π}{6})$

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2. 已知函数 $f (x) = 3^{a x}$ 的图象经过点 $(2 ， 3)$ ，则 $f (2 \log_{\sqrt{3}} 2) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、9

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3. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有 $10$ 对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距 $| P_{i} P_{i + 1} | (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 9)$ 均为 $3.4 m$ ，拉索下端相邻两个锚的间距 $| A_{i} A_{i + 1} | (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 9)$ 均为 $16 m$ ．最短拉索的锚 $P_{1}$ ， $A_{1}$ 满足 $| O P_{1} | = 66 m$ ， $| O A_{1} | = 86 m$ ，则最长拉索所在直线的斜率为（）

A、 $\pm 0.47$ B、 $\pm 0.45$ C、 $\pm 0.42$ D、 $\pm 0.40$

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4. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $A = 30 °$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、2或 $\sqrt{3}$

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5. 重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{4}{5}$ ，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（）

A、 $\frac{97}{120}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{53}{60}$

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6. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足： $f (x)= {\begin{array}{l} sin \frac{π x}{2} ， x \in [- 1，0] \\ - \frac{1}{4} x^{3} - \frac{5}{4} x^{2} ， x \in (- \infty ， - 1) \end{array}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) > 3 x$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}) \cup (3 ， 6)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1) \cup (2 ， 4)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3}) \cup (4 ， 5)$ D、 $(0 ， \frac{1}{3}) \cup (2 ， 3)$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + \ln x - x$ 有唯一的极值点 $t$ ，则 $f (t)$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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8. 若角 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ， $β \in (0 ， π)$ ，且 $\frac{6 \sin α \cdot \cos α}{(1 + \sin α) (1 + \cos α)} \in N$ ， $\sin (α + β) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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二、多选题

9. 已知随机变量 $X \sim N (1 ， 2^{2})$ ，且 $P (X \leq 0) + P (1 \leq X \leq m) = \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 2$ B、 $m = 4$ C、函数 $y = x (m - x)$ 的最大值为1 D、 $X$ 的正态曲线关于 $x = 2$ 对称

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10. 已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 4$ ，若存在正数 $x$ ， $y$ 使得 $\frac{1}{2 x} + x \leq t - 2 y - \frac{1}{y}$ 成立，则实数 $t$ 的可能取值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， φ \in (0 ， \frac{π}{2}))$ ，直线 $x = \frac{π}{12}$ 和点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{12})$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{2π}{3} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上为单调函数 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{35π}{3}]$ 上有23个零点

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - a) - x - a$ 有两个不同零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < - 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = 0$ C、 $(e^{x_{1}} + 1) (e^{x_{2}} + 1) (e^{x_{1}} + e^{x_{2}}) > 8$ D、 $x_{1} + 2 a < x_{2} < x_{1} + 2 a + \frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 某中学为了掌握学校员工身体状况，偶尔会采用抽检的方式来收集各部门员工的健康情况．为了让样本更具有代表性，学校对各部门采用分层抽样的方法进行抽检．已知该校部门 $A$ 、部门 $B$ 、部门 $C$ 分别有40、60、80人，各部门员工不存在交叉任职情况，若共抽检了90人，则部门 $A$ 抽检人数为．

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14. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\tan θ = 2 \sqrt{2}$ ，则 $2 \sin (θ + \frac{π}{4}) - \sqrt{1 + \cos 2 θ} =$ ．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 经过左焦点 $F_{1}$ 且交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），设 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，若 $\frac{r_{1}}{r_{2}} = 3$ ，则椭圆的离心率 $e =$ ．

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16. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，若不等式 $x \ln x - a \ln x \geq x + b$ 对 $\forall x > 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{1} = 2$ ， $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + 1$ ， $S_{7} = 7 T_{2} + a_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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18. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{2} + x) + \sqrt{3} \sin (π - x) \cos x - \cos 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移 $\frac{1}{2}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象．求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是边长为6的等边三角形，且满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $A B$ 的中点， $\vec{M F} = \frac{1}{6} \vec{M N}$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明：平面 $P D F ⊥$ 平面 $P M N$ ；

(2)、若二面角 $P - M N - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $P M$ 与平面 $P D F$ 所成角的正切值．

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20. 重庆位于北半球亚热带内陆地区，其气候特征恰如几句俗谚：春早气温不稳定，夏长酷热多伏旱，秋凉绵绵阴雨天，冬暖少雪云雾多．尤其是10月份，昼夜温差很大，某数学兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了2021年10月某六天的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期	第一日	第三日	第五日	第四日	第二日	第六日
昼夜温差 $x$ （℃）	4	7	8	9	12	14
就诊人数 $y$ （个）	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$y_{4}$	$y_{5}$	$y_{6}$

其中： $y_{i} \in N *$ ， $i = 1$ ， 2，3，4，5，6，参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} y_{i}^{2} = 2658$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 258$ ， $\sqrt{258} \approx 16$ ．

（参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \cdot \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

(1)、根据散点图可以认为

x

与

y

之间存在线性相关关系，且相关系数

r = \frac{127}{128}

，请用最小二乘法求出线性回归方程

\hat{y} = b x + a

（

a

，

b

用分数表示）；

(2)、分析数据发现：第六日就诊人数

y_{6} = 30

，第一日就诊患者中有3个小孩，其他患者全是大人，现随机的从第一日所有就诊患者中选出2人，若2人中至少有一个小孩的概率为

\frac{8}{15}

；

①求 $y_{1}$ 的值；

②若 $y_{2} < y_{3} < y_{4} < y_{5}$ ，求 $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ ， $y_{5}$ 的值（只写结果，不要求过程）．

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21. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，过右焦点 $F$ 作斜率为正的直线 $l$ ，直线 $l$ 交双曲线的右支于 $P$ ， $Q$ 两点，分别交两条渐近线于 $A ， B$ 两点，点 $A ， P$ 在第一象限， $O$ 为原点．

(1)、求直线 $l$ 斜率的取值范围；

(2)、设 $△ O A P$ ， $△ O B P$ ， $△ O P Q$ 的面积分别是 $S_{△ O A P}$ ， $S_{△ O B P}$ ， $S_{△ O P Q}$ ，求 $\frac{S_{△ O P Q}}{S_{△ O A P} \cdot S_{△ O B P}}$ 的范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 8 m \ln | x | - x^{2}$ ， $m > 0$

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + \frac{5}{4} x^{2} - 4 x + \cos x$ ， $x \in (- \frac{3 π}{2} ， 0) \cup (0 ， \frac{3 π}{2})$ ，若对于曲线 $g (x)$ 上的任意点 $A (x_{1} ， g (x_{1}))$ ，在曲线 $g (x)$ 上仅存在唯一的点 $B (x_{2} ， g (x_{2}))$ （异于点 $A$ ），使曲线 $g (x)$ 在 $A$ ， $B$ 处的切线的交点在 $y$ 轴上，求正整数 $m$ 的最小值．
（参考数据： ${(\frac{5 π}{6})}^{2} \approx 6.84$ ， ${(\frac{7 π}{6})}^{2} \approx 13.43$ ， ${(\frac{5 π}{4})}^{2} \approx 15.42$ ， ${(\frac{4 π}{3})}^{2} \approx 17.55$ ）

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