云南省名校2023届高三上学期数学第二次月考试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1+3i}{1+i}$ 在复平面内对应的点的坐标为（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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2. 设集合 $U = {x \in Z | | x | \leq 2}$ ， $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {0 ， 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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3. 某游泳馆统计了10天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图.

则根据此折线图，下面结论正确的是（）

A、这10天内，每日游泳人数的极差大于106 B、这10天内，每日游泳人数的平均值大于135 C、这10天内，每日游泳人数的中位数大于145 D、前5天每日游泳人数的方差小于后5天每日游泳人数的方差

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4. 一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有（）

A、442个 B、408个 C、340个 D、306个

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5. 已知 $\sin \frac{β}{2} = \frac{1}{3}$ ， $\sin (α + β) + \sin (α - β) = \frac{2}{3}$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $- \frac{3}{7}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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6. 已知 $a = {1.1}^{- 0.1}$ ， $b = \ln 3$ ， $c = 3 \ln \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， 6 > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，点M在C的右支上运动， $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心为I，若 $| I O | = | I F_{2} |$ ，则C的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x e^{a} = \ln x$ 的根，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a \in (- \infty ， - 1]$ B、 $x_{1} \in (0 ， 1)$ C、 $x_{2} \in (\frac{1}{e} ， e)$ D、 $x_{1} + x_{2} > 2$

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二、多选题

9. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 的夹角为45° B、 $B C_{1}$ 与平面ABC所成角为45° C、 $B C_{1}$ 与 $A A_{1}$ 的夹角为45° D、 $B C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角为45°

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10. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（）

A、若直线l垂直于x轴，则 $| A B | = \frac{10}{3}$ B、 $| A B | \in [\frac{10}{3} ， 6]$ C、若 $| A B | = 5$ ，则直线l的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $| A F | = 2 | B F |$ ，则 $| A B | = \frac{15}{4}$

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11. 一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（）

A、 $P (B | A_{1}) = \frac{1}{6}$ B、 $P (C | A_{2}) = \frac{1}{2}$ C、 $P (B) = \frac{1}{3}$ D、 $P (A_{1} C) = \frac{1}{5}$

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12. 某制造企业一种原材料的年需求量为16000千克（该原材料的需求是均匀的，且不存在季节性因素），每千克该原材料标准价为200元.该原材料的供应商规定：每批购买量不足1000千克的，按照标准价格计算；每批购买量1000千克及以上，2000千克以下的，价格优惠5%；每批购买量 $2000$ 千克及以上的，价格优惠10%.已知该企业每次订货成本为600元，每千克该原材料年平均库存成本为采购单价的15%.该企业资金充足，该原材料不允许缺货，则下列结论正确的是（）
（采购总成本 $=$ 采购价格成本 $A p +$ 订货成本 $\frac{A B}{Q} +$ 库存成本 $\frac{C}{2} Q$ ， $A$ 为原料年需求量， $B$ 为平均每次订货成本， $C$ 为单位原料年库存成本， $Q$ 为订货批量即每批购买量， $p$ 为采购单价）

A、该原材料最低采购单价为180元/千克 B、该原材料最佳订货批量为800千克 C、该原材料最佳订货批量为2000千克 D、该企业采购总成本最低为2911800元

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a}$ 的模为2，向量 $\vec{b} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，且 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于.

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14. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a b \neq 0)$ ，使 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的a与b组成的有序实数对为 $(a ， b)$ ，则 $(a ， b)$ 可以是.（写出一对符合题意的即可）

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15. 已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球 $O$ 所得两个截面圆的半径分别为1和 $\sqrt{3}$ ，则球O的表面积等于.

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，若 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心， $f (x)$ 在区间 $(\frac{5π}{18} ， \frac{7π}{18})$ 上有最大值点无最小值点，且 $f (\frac{5π}{18}) = f (\frac{7 π}{18})$ ，记满足条件的 $ω$ 的取值集合为 $M$ ，则 $M =$ .

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b \sin C = \sqrt{3}$ ， $c \cos B = 1$ .

(1)、求B；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某市从2017年到2021年新能源汽车保有量y（单位：千辆）与年份的散点图如下：

记年份代码为 $x (x = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ， $t = x^{2}$ ，对数据处理后得：

$\bar{y}$

$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$

$\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i}$

35

55

979

715

3115

参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据散点图判断，模型① $y = a + b x$ 与模型② $y = c + d x^{2}$ 哪一个更适宜作为y关于x的回归模型？（给出结论即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测2022年该市新能源汽车保有量（计算结果都精确到1）.

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = \frac{1}{a_{1}}$ ，且 $b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{3 b_{n} + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 是等差数列，并求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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20. 如图，在四面体ABCD中， $△ A B D$ 是边长为2的等边三角形， $A B = A C$ ， $B C ⊥ C D$ .

(1)、证明：平面 $A B D ⊥$ 平面BCD；

(2)、若二面角 $A - B C - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求四面体ABCD的体积.

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21. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线l与E相切于点A.

(1)、当 $k =2$ ， $| A F | =5$ 时，求E的方程；

(2)、若直线 $l^{'}$ 与l平行， $l^{'}$ 与E交于B，C两点，且 $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，设点F到 $l^{'}$ 的距离为 $d_{1}$ ，到l的距离为 $d_{2}$ ，试问： $\frac{d_{1}}{d_{2}}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a ， b ， c ， d \in R ， a \neq 0)$ 是奇函数，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $9 x + 3 y - 16 = 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的零点；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(m ， 10 - m^{2})$ 内有最大值，求m的取值范围.

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$\bar{y}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i}$
35	55	979	715	3115