浙江省十校联盟2022-2023学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | x > 1}$

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2. 已知复数 $z = \frac{5}{2 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. （1+ $\frac{1}{x^{2}}$ ）（1+x）⁶展开式中x²的系数为（　　）

A、15 B、20 C、30 D、35

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4. 源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中 $A ， B$ 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（）

A、18种 B、36种 C、72种 D、108种

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5. 设平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，则“ $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 同时具有以下性质：“①最小正周期是π：②在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数”的一个函数是（）

A、 $y = s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = c o s (2 x - \frac{π}{6})$

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7. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = 2 - f (x)$ ．若函数 $y = x^{3} - x + 1$ 与 $y = f (x)$ 的图像的交点为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{5} ， y_{5})$ ，则 $∑_{5}^{i = 1} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、5 B、10 C、15 D、20

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8. 在 $△ O A B$ 中， $O A = A B$ ， $∠ O A B = 120 °$ ．若空间点 $P$ 满足 $S_{△ P A B} = \frac{1}{2} S_{△ O A B}$ ，则直线 $O P$ 与平面 $O A B$ 所成角的正切的最大值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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二、多选题

9. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（）．

A、若甲、乙两组数据的平均数分别为 ${\bar{x}}_{1}$ ， ${\bar{x}}_{2}$ ，则 ${\bar{x}}_{1} > {\bar{x}}_{2}$ B、若甲、乙两组数据的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ C、甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D、甲成绩比乙成绩稳定

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10. 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工 $(i = 1 ， 2)$ ”为事件 $A_{i}$ ， “任取一个零件是次品”为事件B，则（）

A、 $P (\bar{B}) = 0.054$ B、 $P (A_{2} B) = 0.03$ C、 $P (B | A_{1}) = 0.06$ D、 $P (A_{2} | B) = \frac{5}{9}$

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11. 如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面边长分别为 $\sqrt{2}$ ， $2 \sqrt{2}$ ，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为 $20 π$ ，则侧棱长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{10}$

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $4 a + b = 1$ ，则（）

A、 $1 6^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $l o g_{\frac{1}{2}} a + l o g_{\frac{1}{2}} b \leq 4$ C、 $l n b - e^{- 4 a} \leq - 1$ D、 $4 a + s i n b^{2} \leq 1$

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三、填空题

13. 若 $a = {log}_{4} 3$ ，则 $2^{a} + 2^{- a} =$ ．

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14. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为小时．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 恰好满足下列条件中的两个：①过点 $M (3 ， 3 \sqrt{2})$ ；②渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ；③离心率 $e = \sqrt{2}$ ．则双曲线C方程为．

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16. 若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $e^{a x} - x + 2 a x \geq \frac{1}{e^{a x}} - \frac{1}{x} + 2 l n x$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为．

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四、解答题

17. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， $\frac{1 - c o s 2 B}{s i n B} = \frac{s i n 2 A}{s i n A}$ ．

(1)、若 $C = \frac{π}{6}$ ，求B的大小；

(2)、若△ABC不是钝角三角形，且 $c = 1$ ，求△ABC的面积取值范围．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $S_{n} = 2 + a_{n + 1} (n ∈ N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${S_{n} - 2}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 2}}{(a_{n + 1} + 1) (2 S_{n} - 3)}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ ．

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19. 现将某校高三年级不同分数段（满分150分）的学生对数学感兴趣程度进行调查（只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项），随机抽调了50人，各分数段频数（单位：人）及对数学感兴趣人数如下表：
成绩
$[0 ， 90)$
$[90 ， 100)$
$[100 ， 110)$
$[110 ， 120)$
$[120 ， 130)$
$[130 ， 150]$
频数
5
10
15
10
5
5
感兴趣人数
1
3
5
7
4
5
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} ≥ k_{0})$
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、根据以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断能否有 $99.5 %$ 的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”？

成绩低于110分
成绩不低于110分
合计
感兴趣
不感兴趣
合计

(2)、若在成绩为 $[90 ， 110)$ 分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人，求成绩来自 $[90 ， 100)$ 这一分数段人数 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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20. 在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥ B C$ ， $A B = A C = A A_{1} = A_{1} C = \sqrt{2}$ ， $B_{1} C = \sqrt{6}$ ．

(1)、证明： $A_{1}$ 在底面ABC上的射影是线段BC中点；

(2)、求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值．

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21. 如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F，且经过点 $A (2 p ， m) (m > 0)$ ， $| A F | = 5$ ．

(1)、求p和m的值；

(2)、点M，N在C上，且 $A M ⊥ A N$ ．过点A作 $A D ⊥ M N$ ， D为垂足，证明：存在定点Q，使得 $| D Q |$ 为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x e^{1 - x}$ 与 $g (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 有相同的最大值（其中e为自然对数的底数）．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、证明： $∀ x ∈ [0 ， 1]$ ，都有 $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、若直线 $y = m (m \in R)$ 与曲线 $y = f (x)$ 有两个不同的交点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < \frac{2}{m}$ ．

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成绩	$[0 ， 90)$	$[90 ， 100)$	$[100 ， 110)$	$[110 ， 120)$	$[120 ， 130)$	$[130 ， 150]$
频数	5	10	15	10	5	5
感兴趣人数	1	3	5	7	4	5

$P (K^{2} ≥ k_{0})$	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	成绩低于110分	成绩不低于110分	合计
感兴趣
不感兴趣
合计