山东省潍坊市2022-2023学年高三上学期数学10月优生抽测试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x < 0}$ ， $B = {2 ， m}$ ，且 $A ∩ B$ 有4个子集，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(0 ， 2) ∪ (2 ， 4)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2) ∪ (4 ， + \infty)$

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2. 若 $a \in R$ ，则关于 $x$ 的不等式 $4 x^{2} - 4 a x + a^{2} - 1 < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < \frac{a - 1}{2}$ 或 $x > \frac{a + 1}{2}}$ B、 ${x | x < \frac{a + 1}{2}$ 或 $x > \frac{a - 1}{2}}$ C、 ${x | \frac{a - 1}{2} < x < \frac{a + 1}{2}}$ D、 ${x | - \frac{a + 1}{2} < x < - \frac{a - 1}{2}}$

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3. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则这个数列的第20项为（）

A、198 B、200 C、202 D、204

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4. 从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比 $m$ 大，一个比 $m$ 小的概率为 $\frac{5}{14}$ ，已知 $m$ 为上述数据中的 $x %$ 分位数，则 $x$ 的取值可能为（）

A、50 B、60 C、70 D、80

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5. 在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，将点 $A$ 绕原点按逆时针方向旋转角 $α_{1}$ 得到点 $A_{1}$ ，再将点 $A_{1}$ 绕原点按逆时针方向旋转角 $α_{2}$ 得到 $A_{2}$ ， …，如此继续下去，得到前10个点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{10}$ ．若 ${α_{n}}$ 是公差为 $\frac{π}{6}$ 的等差数列，且点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{10}$ 在同一函数图象上，则角 $α_{1}$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{5}$

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6. 某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果 $0.1 %$ 呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（）

A、0.999 B、0.9 C、0.5 D、0.1

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7. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (3 x - 1)$ 为奇函数，且 $f (x - 1)$ 的图像关于 $x = 1$ 对称．若曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $2$ ，则曲线 $f (x)$ 在 $x = 2023$ 处的切线方程为（）

A、 $y = - 2 x + 4046$ B、 $y = 2 x + 4046$ C、 $y = 2 x - 4046$ D、 $y = - 2 x - 4046$

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8. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - a_{n}^{2} - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a \neq 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 单调递减 B、若存在无数个自然数 $n$ ，使得 $a_{n + 1} = a_{n}$ ，则 $a = 1$ C、当 $a > 1$ 时， ${a_{n}}$ 的最小值不存在 D、当 $a = 3$ 时， $\frac{1}{a_{1} - 2} + \frac{1}{a_{2} - 2} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} - 2} > \frac{1}{2}$ 恒成立

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二、多选题

9. 若 $m > n > 1$ ， $0 < t < 1$ ，则（）

A、 $l o g_{m} t < l o g_{n} t$ B、 $m e^{n} < n e^{m}$ C、 $m n^{t} > n m^{t}$ D、 $m l o g_{n} t < n l o g_{m} t$

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10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）

A、在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 $\frac{1}{2}$ B、第二次抽到3号球的概率为 $\frac{11}{48}$ C、如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D、如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{n + 1} \geq 2 a_{n}$ B、 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、 ${a_{n + 1} - 4 a_{n}}$ 是递增数列 D、 $a_{n} \geq n^{2} - 3 n + 3$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - m (x > 0)$ ， $g (x) = \frac{x}{l n x} - m (x > 1)$ ，则（）

A、若函数 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $m \leq 1$ B、若函数 $g (x)$ 有两个不同的零点，记为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2 e$ C、若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 共有两个不同的零点，则 $m = e$ D、若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 共有三个不同的零点，记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{3} = x_{2}^{2}$

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三、填空题

13. 若 ${(3 x + \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为．

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14. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 1) x + 2 a (x < 1) \\ l o g_{a} x (x ≥ 1) \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减的一个充分不必要条件是．（只要写出一个符合条件的即可）

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n (x + \frac{π}{6}) + x + 1}{2 + c o s x}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f (- 2023) + f^{'} (- 2023) + f (2023) - f^{'} (2023) =$ ．

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16. 新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗，争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A，B，C，D四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A地区，那么第6周也抽到A地区的概率是（用最简分数表示）．

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四、解答题

17. 已知关于 $x$ 的方程 $l o g_{\frac{1}{2}} (t - 2^{x}) = x - 2$ 有解，设满足题意的实数 $t$ 构成的集合为 $T$ ．

(1)、求集合 $T$ ；

(2)、若 $m > 1$ ， $n > 1$ 且 $\exists t \in T$ 使得不等式 $l o g_{3} m \cdot l o g_{3} n \geq t$ 成立，求 $m + n$ 的最小值．

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18. 为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数，得到下表：
时间 $x /$ 周
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每周普及的人数 $y$
80
98
129
150
203
190
258
292
310
并计算得： $\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 190$ ， $\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 55482$ ， $\sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1800$ ．
附：线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、从这9周的数据中任选4个周的数据，以 $X$ 表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、由于统计工作人员的疏忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数 $y$ 关于周数 $x$ 的线性回归方程．

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19. 在① $f (x + 2) = f (2 - x)$ ， ② $f (x) + f (4 - x) = 0$ ， ③ $f (- x) - f (x + 4) = 1$ 这三个条件中任选一个，补充在横线处，解答下列问题：
定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，当 $x \leq 2$ 时， $f (x) = x e^{x}$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有____．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{3} = 6$ ， $2 S_{n} = n + n a_{n}$ ， $n \in N *$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ ， ${c_{n}}$ ， ${d_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{{(a_{n} + 1)}^{2} - 1}$ ， $c_{n} = b_{1}^{n} b_{2}^{n - 1} ⋯ b_{n - 1}^{2} b_{n}$ ，且 $d_{n} = \frac{c_{n}}{n \cdot 2^{n}}$ ，求数列 ${d_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第 $m (1 \leq m \leq 28 ， m \in N)$ 号同学得到球后传给 $m + 1$ 号同学的概率为 $\frac{2}{3}$ ，传给 $m + 2$ 号同学的概率为 $\frac{1}{3}$ ，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为 $\frac{1}{3}$ ， 30号同学投篮命中的概率为 $\frac{6}{7}$ ，设传球传到第 $n (2 \leq n \leq 30 ， n \in N)$ 号的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{4}$ 的值；

(2)、证明： ${P_{n + 1} - P_{n}} (2 \leq n \leq 28)$ 是等比数列；

(3)、比较29号和30号投篮命中的概率大小．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} ⋅ c o s x - s i n x - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数）．

(1)、证明：当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \leq 0$ ；

(2)、①证明： $f (x)$ 在区间 $(0 ， 5 π)$ 内有4个零点；
②记①中的4个零点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，求证： $x_{1} + x_{4} > x_{2} + x_{3}$ ．

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时间 $x /$ 周	1	2	3	4	5	6	7	8	9
每周普及的人数 $y$	80	98	129	150	203	190	258	292	310