辽宁省铁岭市六校协作体2022-2023学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 2) (x - 3) < 0}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）．

A、 $(- ∞ ， - 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[1 ， + ∞)$

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2. 已知复数 $z = c o s 67 . 5^{°} + i s i n 67 . 5^{°}$ ，则 $\frac{{| z |}^{2}}{z^{2}} =$ （）．

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ D、1

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、π

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4. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ ，（其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）其图象如图所示，为了得到 $g (x) = - A c o s ω x$ 的图象，可以将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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5. 足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的．即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的 $\frac{1}{3}$ 处将其顶角截去，截去12个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的边数为（）．

A、60 B、90 C、105 D、120

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则“ $s i n A > s i n B$ ”是“ $c o s A < c o s B$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $a = e^{0.1} - 1$ ， $b = s i n 0.1$ ， $c = l n 1.1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = n^{2} s i n (\frac{2 n + 1}{2} π)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{12} =$ （）

A、0 B、55 C、66 D、78

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二、多选题

9. 已知 $x > 0$ 、 $y > 0$ ，且 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则下列不等式中一定成立的是（）．

A、 $3 x + y \leq 2 \sqrt{10}$ B、 $x + y \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $l o g_{2} x + l o g_{2} y \leq 1$ D、 $2^{x} ⋅ 2^{y} \leq 4^{\sqrt{2}}$

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10. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：当 $n$ 为奇数时， $a_{n} = 2 n + 1$ ；当 $n$ 为偶数时， $a_{n} = n^{2}$ ，则下列结论正确的为（）

A、2021和2023均为数列 ${a_{2 n - 1}} (n \in N^{*})$ 中的项 B、数列 ${a_{2 n - 1}} (n \in N^{*})$ 为等差数列 C、仅有有限个整数 $k$ 使得 $a_{2 k} > a_{3 k}$ 成立 D、记数列 ${a_{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} < \frac{4^{n + 1}}{3} - 1$ 恒成立

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11. 设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，函数 $f (x) = s i n [c o s^{2} x] + c o s [s i n^{2} x]$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 是以 $3 π$ 为周期的周期函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、对 $\forall x \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ， $f (x) \geq 1$

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12. 定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $2 f (x) + x \cdot f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ， $f (1) = 0$ ，则下列说法正确的是（）．

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极小值，极小值为 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 只有一个零点 C、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$ D、 $f (1) < f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{3})$

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三、填空题

13. 已知 $s i n (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3} ， (0 < α < \frac{π}{2})$ ，则 $s i n (\frac{7 π}{6} + α) =$ ．

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14. 设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n ，若a₁=d=1，则 $\frac{S_{n} + 8}{a_{n}}$ 的最小值．

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15. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值为．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $P A = 4$ ， $A B = A C = B C = 2 a$ ， $M$ 为 $A C$ 的中点，球 $O$ 为三棱锥 $P - A B M$ 的外接球， $D$ 是球 $O$ 上任一点，若三棱锥 $D - P A C$ 体积的最大值是 $4 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的体积为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + s i n (x + \frac{π}{12}) c o s (x + \frac{π}{12}) - \frac{1}{2} (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2} - \frac{7 π}{24}) = \frac{\sqrt{3}}{10}$ ，求 $s i n 2 α$ 的值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C$ ， $△ P A C$ 是等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $P D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $P D ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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19. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3 n} = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $2 a_{1} ， a_{3} + 1 ， a_{8}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2^{a_{n + 1}}}{(1 + 2^{a_{n}}) (1 + 2^{a_{n + 1}})}$ ， $R_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，若对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $R_{n} < λ$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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20. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D$ ∥ $B C$ ， $∠ A D C = 90 °$ ，平面 $P A D$ ⊥底面 $A B C D$ ， $Q$ 为 $A D$ 的中点， $P A = P D = 2$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $P Q B$ ⊥平面 $P A D$ ；

(2)、在棱 $P C$ 上是否存在点 $M$ 使得二面角 $M - B Q - C$ 大小为 $30 °$ ？若存在，求出 $Q M$ 的长；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 1) - 2 x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 存在极大值为 $- 1$ ，求实数 $a$ 的值 $；$

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + e^{x}$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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