辽宁省六校2022-2023学年高三上学期数学10月联合考试试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ m - 3 < x < 2 m + 6} ， B = {x ∣ l o g_{2} x < 2}$ ，若 $A ∪ B = A$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 3 ， - 1]$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $[- 1 ， 3]$

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2. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，则“ $ a^{2} + b^{2} - c^{2} < 0$ ”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 复数 $z = \frac{1 - 3 i}{2 + i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{7}{5}$ B、 $- \frac{7}{5} i$ C、 $- \frac{7}{3}$ D、 $- \frac{7}{3} i$

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4. 瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天.”为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为 $\frac{3}{2}$ ，沿山道继续走 $20 m$ ，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为 $\frac{π}{3}$ .已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该瀑布的高度约为（）

A、 $60 m$ B、 $90 m$ C、 $108 m$ D、 $120 m$

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 ${S_{m}}_{- 1} = - 2$ ， $S_{m} = 0$ ， ${S_{m}}_{+ 1} = 3$ ，则m等于（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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6. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，在区间 $(0 ， 1)$ 上，有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 成中心对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 成轴对称 C、在区间 $(2 ， 3)$ 上， $f (x)$ 为减函数 D、 $f (- \frac{7}{2}) > f (\frac{2}{3})$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n x (\sqrt{3} s i n x + c o s x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ ，且 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{π}{4}$ ，则 $φ$ 的最小取值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3}{4} π$

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8. 实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 e^{4 - 2 x} = (2 x + y) e^{y}$ ，则 $x + \frac{2 x^{2}}{y} + \frac{y}{x}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、7 D、4

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二、多选题

9. （多选）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）

A、a²＞ab B、ln（1﹣a）＞ln（1﹣b） C、 $\frac{2}{a + b} ＞ - \frac{1}{\sqrt{a b}}$ D、a+cosb＞b+cosa

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10. 已知向量 $\vec{a}$ $= (\sqrt{2} ， 1)$ ， $\vec{b}$ $= (c o s θ ， s i n θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t a n θ = \sqrt{2}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影为 $- \frac{\sqrt{3}}{6} | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、与 $\vec{a}$ 共线的单位向量只有一个为 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、存在 $θ$ ，使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} + b \cdot a^{- x}}{x^{2} + c}$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则 $f (x)$ 的大致图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c^{2} = b (a + b)$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $c > b$ B、 $C = 2 B$ C、 $a > c$ D、 $0 < B < \frac{π}{4}$

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{2} = 4$ ， $S_{3} = 14$ ，则 $a_{3} =$ ．

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14. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 4 | \vec{a} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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15. 若 $c o s (α + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n (\frac{π}{3} - 2 α)$ 的值为．

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16. 已知函数 $f （ x ） = \frac{x}{l n x}$ ，若关于 $x$ 的方程 $[f (x)]^{2} + a f (x) + a - 1 = 0$ ，有且仅有三个不同的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 11$ ， $a_{2} = - 9$ ，且 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 2 (n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，且 $D (0 ， - 1) ， △ A B C$ 的面积等于 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (α + \frac{π}{6}) = - \frac{4}{3}$ ，且 $α \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1} ， ∠ A B C = 9 0^{∘} ， A B = B C$ ，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 6 0^{∘} ， O$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B_{1} O A_{1}$ ；

(2)、求直线 $O A$ 与平面 $O B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = a^{x} + \frac{1 - t}{a^{x}} (a > 0, a \neq 1)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求实数 $t$ 的值；

(2)、若 $f (1) > 0$ ，不等式 $f (x^{2} + b x) + f (4 - x) > 0$ 在 $x \in R$ 上恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、若 $f (1) = \frac{3}{2}$ 且 $h (x) = a^{2 x} + \frac{1}{a^{2 x}} - 2 m f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $\frac{2 s i n A - s i n C}{s i n C} = \frac{\vec{C A} \cdot \vec{C B}}{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若D是AC边上的一点，且 $A D ： D C = 1 ： 2$ ， $B D = 1$ ，当 $a + 3 c$ 取最大值时，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = x (1 - a l n x)$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、若 $x \in (0 ， \frac{1}{2}]$ 时，都有 $f (x) < 1$ ，求实数a的取值范围；

(3)、若有不相等的两个正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $\frac{1 + l n x_{2}}{1 + l n x_{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < e x_{1} x_{2}$ .

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