江西省上饶市、景德镇市六校2023届高三上学期理数10月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y ∣ y = 3^{x} ， x < 1} ， N = {x ∣ y = l n (x - 1)}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $[0 ， 3)$ B、 $[1 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象特征，则函数 $y = \frac{x^{2} l n | x |}{| x |}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 3 x + 3 ， x < 0 \\ e^{- x} + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (a) < f (3 a - 1)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$

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4. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为实数集 $R$ 上的奇函效，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 3^{x} - a$ （a为常数），则 $f (- 1) = 2$ B、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) \cdot x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 单调递减，则实数 $m = 2$ C、命题“ $\forall x > 1$ ， $2^{x} - 1 > 0$ ”的否定是“ $\forall x \leq 1$ ， $2^{x} - 1 > 0$ ” D、 $△ A B C$ 中.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 $s i n^{2} A < s i n^{2} B$ 是 $a^{2} < b^{2}$ 的充分不必要条件

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5. 已知幂函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象过点(9，3)，则函数 $y = \frac{1 - f (x)}{f (x) + 1}$ 在区间［1，9]上的值域为（）

A、［－1，0] B、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$ C、［0，2] D、 $[- \frac{3}{2} ， 1]$

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6. 函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 单调递减，且为奇函数．若 $f (1) = - 1$ ，则满足 $- 1 \leq f (x - 2) \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、[－2，2] B、[－1，2] C、[0，4] D、[1，3]

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7. 函数 $y = 2 l n (x + 1) + c o s x$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线对应的倾斜角为 $α$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\pm \frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$ .

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $f (a) > f (1)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若存在 $x \in (- 1 ， 1]$ ，使得不等式 $e^{2 x} - a x < a$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{e})$ B、 $(\frac{2}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = l n x - a (x - 1) - b - 1 (a \neq 0 ， b \in R)$ ，若 $\forall x > 0 ， f (x) \leq 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最小值是（）

A、 $1 + e$ B、 $1 - e$ C、 $1 - e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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11. 已知函数 $f (x - 1) (x$ $\in R)$ 是偶函数，且函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 对称，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = a x - 1$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、-1 B、-2 C、0 D、2

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12. 函数 $f (x) = c o s x - \frac{1}{2} a x^{2}$ ，定义域为 $[0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (x)$ 有唯一极值点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， - \frac{2}{π})$ B、 $(- 1 ， - \frac{1}{2 π})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2 π})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{π})$

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x < 0 ， \\ c o s x ， 0 \leq x \leq \frac{π}{2} ， \end{array}$ 则 $f (x)$ 与x轴围成的封闭图形的面积为.

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14. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 的极值点，则方程 $f (x) = a$ 在 $(2 ， + \infty)$ 的不同实根个数为．

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15. 将边长为 $1 m$ 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 $S = \frac{{(梯形的周长)}^{2}}{梯形的面积}$ ，则 $S$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x + 2 e ， x \leq 0 \\ \frac{e^{x}}{x} ， x > 0 \end{cases}$ ，若存在 $x_{1} \leq 0$ ， $x_{2} > 0$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} f (x_{2})$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知命题 $p$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 5 a x - 6 a^{2} < 0$ （其中 $a > 0$ ）；命题 $q$ ：实数 $x$ 满足 $- 2 < x < 4$ ．

(1)、若 $a = 1$ ， $p \land q$ 为真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x l n x - 2 x$ ，求：

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， a]$ 的最小值.

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19. 如图所示，将一个矩形花坛 $A B C D$ 扩建成一个更大的矩形花坛 $A M P N$ ，要求 $M$ 在射线 $A B$ 上， $N$ 在射线 $A D$ 上，且对角线 $M N$ 过 $C$ 点，已知 $A B = 4$ 米， $A D = 3$ 米，设 $A N$ 的长为 $x (x > 3)$ 米.

(1)、要使矩形 $A M P N$ 的面积大于54平方米，则 $A N$ 的长应在什么范围内？

(2)、求当 $A M ， A N$ 的长度分别是多少时，矩形花坛 $A M P N$ 的面积最小，并求出此最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} - 2^{1 - x}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、求不等式 $f (f (x) - 2) > 3$ 的解集；

(3)、若关于x的不等式 $f (x) > \frac{k}{2^{x - 1}} + 2$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = b x - a x l n x (a > 0)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = (1 - a) x$ 平行．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；

(2)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{l n x}$ ，若存在 $x_{1}$ ∈[e，e²]，使 $g (x_{1}) \leq \frac{1}{4}$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a x + a l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < e$ 时，讨论 $f (x)$ 的零点个数．

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