江苏省南京市六校2022-2023学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | y = \sqrt{x} + l g (4 - x)}$ ， $N = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 4}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 4}$ D、 ${x | 1 \leq x < 4}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = (1 + i)^{2}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{8} = 6 ， S_{21} = 0$ ，则 $a_{1}$ 的值为（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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4. 从分别写有 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ 的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是 $3$ 的倍数的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 已知菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ A B C = 120 °$ ， $M$ 为 $B C$ 中点， $\vec{D N} = λ \vec{D C} ， \vec{A M} \cdot \vec{A N} = 19$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的 $2 π$ 倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（）个该金字塔模型（不计损耗）？

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 若 $α \in (0 ， π)$ ， $t a n 2 α = \frac{s i n α}{c o s α + 2}$ ，则 $s i n (α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{1 - 3 \sqrt{5}}{8}$ D、 $\frac{- 1 - 3 \sqrt{5}}{8}$

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8. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) = 2$ ， $f (x) - g^{'} (4 - x) = 2$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $f (4) = 2$ B、 $g^{'} (2) = 0$ C、 $f (- 1) = f (- 3)$ D、 $f (1) + f (3) = 4$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n x$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，得到 $g (x)$ 的图象，则下列四个结论中正确的是（）

A、 $g (\frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$ B、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 中心对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上为增函数 D、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$

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10. 已知双曲线 $C ： m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，其焦点 $(0 ， 10)$ 到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 100$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为： $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ D、双曲线 $C$ 上的点到焦点距离的最小值为 $2$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = 2 n^{2} - 6 n + 1$ ，则 $a_{n} = 4 n - 4$ B、若 $a_{n} = 4 n - 25$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为-66 C、若 $a_{n} = 4 n - 3$ ，则数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前17项和为-33 D、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1011} + a_{1012} < 0 ， a_{1000} + a_{1024} > 0$ ，则当 $S_{n} < 0$ 时， $n$ 的最大值为2023

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12. 为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大永远跟党走奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立100周年知识问答活动正在进行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，托盘由边长为8的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（）

A、经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为 $\frac{4 π}{3}$ B、异面直线AD与BE所成的角的余弦值为 $\frac{9}{16}$ C、连接AB，BC，CA，构成一个八面体ABCDEF，则该八面体ABCDEF的体积为18 D、点D到球面上的点的最小距离为 $\sqrt{20 + 8 \sqrt{2}} - 2$

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三、填空题

13. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 为奇函数，且满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{3} - x ，$ 则 $f (\frac{11}{2}) =$ .

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14. 数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ $(n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯)$ 的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想．现设： $a_{n} = m l o g_{2} (F_{n} - 1)$ $(n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ， $m$ 为常数， $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{6} = 126$ ，则 $a_{5} =$ .

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15. 已知 $△ A B C$ 的三个角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $∠ B = 6 0^{°}$ ， $D$ 为边 $A C$ 上的一点，且 $B D = 1$ ， $\frac{A D}{D C} = \frac{c}{a}$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 值为.

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16. 当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $(e^{x - 1} - 1) l n x \geq a (x - 1)^{2}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，满足： $S_{3} = 13 ， {a_{4}}^{2} = 3 a_{6}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n 为奇数 \\ b_{n - 1} + n ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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18. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\sqrt{3} b c o s \frac{B + C}{2} = a s i n B$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，在 $△ A B C$ 边 $A C$ 的外侧取一点 $D$ （点 $D$ 在 $△ A B C$ 外部），使得 $D C = 1 ， D A = 2$ ，且四边形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{5}{4} \sqrt{3} + 2$ .求 $∠ A D C$ 的大小.

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19. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = B C = 4$ ， $D C = 2 ， A D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若点 $E$ 在线段 $A B$ 上，直线 $D E$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求平面 $D C E$ 与平面 $A B D$ 所成的锐二面角的余弦值．

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20. 第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求.某机构统计了 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ 共6家公司在5G通信技术上的投入 $x$ （千万元）与收益 $y$ （千万元）的数据，如下表：
投入x（千万元）
5
7
8
10
11
13
收益y（千万元）
11
15
16
22
25
31
参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 1186 ，$ $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若 $x$ 与 $y$ 之间线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程.并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？（精确到 $0.01$ ）

(2)、现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为 $1 ， 3 ， 5 ， 6$ 的去甲城市，掷出正面向上的点数为 $2 ， 4$ 的去乙城市.求：
① $A$ 公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；
②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率.（用最简分数作答）

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21. 已知双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为4，且过点 $P (2 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过双曲线 $Γ$ 的左焦点 $F$ 分别作斜率为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 交双曲线 $Γ$ 于 $A ， B$ 两点，直线 $l_{2}$ 交双曲线 $Γ$ 于 $C ， D$ 两点，设 $M ， N$ 分别为 $A B$ 与 $C D$ 的中点，若 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ ，试求 $△ O M N$ 与 $△ F M N$ 的面积之比.

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{a}{x} + l n x$ ， $g (x) = a x - l n x - 2$ .

(1)、当 $f (x)$ 与 $g (x)$ 都存在极小值，且极小值之和为 $0$ 时，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 2 (x_{1} \neq x_{2})$ ，求证： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > \frac{2}{a}$ .

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投入x（千万元）	5	7	8	10	11	13
收益y（千万元）	11	15	16	22	25	31