湖北省孝感市新高考联考协作体2022-2023学年高三上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 1}$ ，集合 $B = {x | (\frac{1}{2})^{x} \geq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 1 ， 1)$ C、 $[- 3 ， - 1]$ D、 $[- 3 ， 1)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为单位向量，则 $| \vec{a} + λ \vec{b} | = | λ \vec{a} - \vec{b} | (λ \neq 0)$ 是 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $c o s (α + \frac{π}{12}) = \frac{3}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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5. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（）

A、240 B、480 C、1440 D、2880

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， S_{4} = 3 ， S_{n - 4} = 12 (n \geq 5 ， n \in N^{*}) ， S_{n} = 17$ ，则n的值为（）

A、8 B、11 C、13 D、17

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7. 已知变量 $x ， y$ 的关系可以用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）进行拟合，设 $z = l n y$ ，其变换后得到一组数据如下：
$x$
4
6
7
8
10
$z$
2
3
4
5
6
由上表可得线性回归方程 $\hat{z} = 0.7 x + \hat{a}$ ，则当 $x = 12$ 时，预测 $y$ 的值为（）

A、 $9.3$ B、 $e^{9.3}$ C、 $7.5$ D、 $e^{7.5}$

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8. 对于问题“求证方程 $3^{x} + 4^{x} = 5^{x}$ 只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程 $3^{x} + 4^{x} = 5^{x}$ 化为 ${(\frac{3}{5})}^{x} + {(\frac{4}{5})}^{x} = 1$ ，设 $f (x) = {(\frac{3}{5})}^{x} + {(\frac{4}{5})}^{x} - 1$ ，因为 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，所以原方程只有一个解 $x = 2$ ”.类比上述解题思路，则不等式 $x^{6} - (2 x + 3) > (2 x + 3)^{3} - x^{2}$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列叙述正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in [2 ， + \infty) ， x^{2} \geq 4$ ”的否定是“ $\exists x \in [2 ， + \infty) ， x^{2} < 4$ ” B、在空间中，已知直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a ⊥ c$ ，则 $b / / c$ C、 $(1 - x)^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为-10 D、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是以2为周期的奇函数，则方程 $f (x) = 0$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上至少有5个实数根

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10. 函数 $f (x) = t a n (ω x + φ) (0 < | φ | < \frac{π}{2} ， ω > 0)$ ，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点 $A (\frac{π}{6} ， 0)$ ， $B (\frac{2 π}{3} ， 0)$ ，则方程 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3}) ， x \in [0 ， π]$ 的解为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11. （多选题）如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E$ ， $F$ ，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，以下结论正确的有（）

A、 $A C ⊥ B E$ B、点 $A$ 到平面 $B E F$ 的距离为定值 C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 体积的 $\frac{1}{12}$ D、异面直线 $A E$ ， $B F$ 所成的角为定值

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12. 已知F为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过F的直线l与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（）

A、 $| M F | = b$ B、直线 $O M$ 与C相交 C、若 $| M F | = \frac{1}{4} | Q F |$ ，则C的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ D、若 $| M F | = \frac{1}{4} | P F |$ ，则C的离心率为 $\frac{5}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $4 a + 2 b$ 的最小值为.

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14. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点 $(- 2 ， y)$ 且 $t a n (π - α) = 2$ ，则 $s i n α =$ ．

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15. 设过点 $(\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ 的直线l的斜率为k，若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上恰有三点到直线l的距离等于1，则k的值为.

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16. 若过点 $P (- 1 ， m)$ 可以作三条直线与曲线 $C ： y = x e^{x}$ 相切，则m的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边，且 $(a + c - b) (s i n A - s i n C + s i n B) = c s i n B$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是首项为1，公差为1的等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n - 1}}}$ 的前n项和.

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19. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ²），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(1)、根据频率分布直方图，求样本平均数 $\bar{x}$

(2)、根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

(3)、假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．

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20. 如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $S A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ .

(1)、求证： $B D$ $∥$ 平面AEG；

(2)、求二面角 $C - S D - E$ 的余弦值；

(3)、在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.

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21. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，点M为椭圆上位于x轴上方的一点， $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为2.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线l与椭圆交于A，B两点，且 $∠ A M B = \frac{π}{2}$ ，求直线l的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x - 1) - m x (m \in R) ， g (x) = 2 x + n - 2$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $- 1 \leq m \leq e - 2$ 时，若不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $\frac{n - 3}{m + 2}$ 的最小值．

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$x$	4	6	7	8	10
$z$	2	3	4	5	6