湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x > 2}$ ， $N = {x | y = l g (3 x - x^{2})}$ ，则 $M ∪ N$ 为（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z = 1 + i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $\frac{\bar{z}}{z} =$ （）

A、i B、 $- i$ C、1 D、-1

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3. 准线方程为 $y = - 2$ 的抛物线的标准方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $x^{2} = 4 y$ D、 $x^{2} = 8 y$

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4. 已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $- \vec{a} - 2 \vec{b}$ B、 $- 2 \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ D、 $- 2 \vec{a} + \vec{b}$

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5. 投掷一枚质地均匀的骰子，下列说法中错误的是（）

A、在前5次掷出的点数都是偶数的条件下，第6次掷出的点数仍是偶数的概率为 $\frac{1}{2}$ B、投掷两次掷出的点数之和为7的概率最大 C、投掷十次，掷出的点数之和的期望为35 D、投掷两次，至少有一次掷出的点数为3的概率为 $\frac{5}{18}$

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6. 一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点 $P_{0}$ 离地面2m，风车翼片的一个端点 $P$ 从 $P_{0}$ 开始按逆时针方向旋转，点 $P$ 离地面距离 $h (m)$ 与时间 $t (m i n)$ 之间的函数关系式是（）

A、 $h (t) = - 8 s i n \frac{π}{6} t + 10$ B、 $h (t) = 8 s i n \frac{π}{6} t + 2$ C、 $h (t) = - 8 c o s \frac{π}{6} t + 10$ D、 $h (t) = 8 c o s \frac{π}{6} t + 10$

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7. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = - 4$ ，且对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} + 1$ ，则 $a_{n}$ 的最小值为（）

A、-16 B、-17 C、-18 D、-19

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8. 已知 $a = {(e - 0.1)}^{e + 0.1}$ ， $b = e^{e}$ ， $c = {(e + 0.1)}^{e - 0.1}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“任意 $x < 1$ ，都有 $x^{2} < 1$ ”的否定是“存在 $x \geq 1$ ，使得 $x^{2} \geq 1$ ” C、设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 8$ ”的必要不充分条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的动点，且满足 $D_{1} E = B F$ ，则以下命题正确的有（）

A、三角形 $A_{1} E F$ 的面积始终保持不变 B、直线 $A_{1} C$ 始终在平面 $A_{1} E F$ 内 C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} E F$ 的体积始终不变 D、直线 $C_{1} A$ 可能与平面 $A_{1} E F$ 垂直

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于点 $(2 ， 2)$ 对称，函数 $y = f (2 x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，下列结论正确的有（）

A、 $f (2) = 2$ B、 $f (3) = 2$ C、 $f (1) + f (3) = 4$ D、 $f (\frac{1}{2}) = f (- \frac{7}{2})$

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12. 函数 $f (x) = x e^{x} - e^{x} - x$ 的大于0的零点为 $a$ ，函数 $g (x) = x l n x - l n x - x$ 的大于1的零点为 $b$ ，下列判断正确的是（提示： $l n 3 \approx 1.1$ ）（）

A、 $b = e^{a}$ B、 $l n b = e^{a}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ D、 $2 < b < 3$

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三、填空题

13. ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 展开式中的常数项是.

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14. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $y = x + m$ ，若直线截圆所得弦长为2，则 $m =$ .

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a^{2} b + 2 a b^{2} = 2 a + b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为.

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16. 一矩形的一边在 $x$ 轴上，另两个顶点在函数 $y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} (x > 0)$ 的图像上，如图，则此矩形绕 $x$ 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $n (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 4 a_{n} - a_{n + 1}$ .

(1)、证明： ${\frac{a_{n}}{n + 1}}$ 为等比数列；

(2)、求 $S_{n}$ .

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，且满足 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，且 $t a n A + t a n C = 3 \sqrt{3}$ ，求 $S$ .

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19. 在图1的直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A D = C D = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，沿 $E C$ 将梯形 $A B C D$ 折起，使得 $B D = 2 \sqrt{3}$ ，得到如图2的四棱锥 $B - A D C E$ .

(1)、证明：平面 $B E C ⊥$ 平面 $A E C D$ ；

(2)、在线段 $C D$ 上是否存在点 $F$ ，使得平面 $F A B$ 与平面 $E B C$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，若存在，求出点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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20. 甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.

(1)、当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；

(2)、求第 $n$ 次传球后球恰好在甲手上的概率.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (0 ， 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设过点 $(0 ， - \frac{3}{5})$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，设坐标原点为 $O$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，求 $| M O |$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - l n x - a (x - 1)$ ，其中实数 $a \geq 0$ .

(1)、当 $a = e - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有唯一零点，求 $a$ 的值.

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