湖北省鄂东南三校联考2022-2023学年高三上学期数学试卷阶段（一）

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{1} B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[- 1 ， 2)$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 设i为虚数单位，若复数z满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $| | z | - i | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 若 $a ， b$ 是异面直线，直线 $c / / a$ ，则 $c$ 与 $b$ 的位置关系是（）

A、相交 B、异面 C、平行 D、异面或相交

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4. 已知 $e$ 是自然对数的底数， $a = l o g_{2022} \frac{2}{e} ， b = {(\frac{2}{e})}^{2022} ， c = 202 2^{\frac{2}{e}}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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5. 如图，在正方形ABCD中，|AB|=2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动：点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t（单位：秒），△AMN的面积为f（t）（规定A，M，N共线时其面积为零，则点M第一次到达点A时，y=f（t）的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $△ A B C$ 中，“ $t a n A t a n B = 1$ ”是“ $c o s^{2} A + c o s^{2} B = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章 $\cdot$ 大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列数 ${a_{n}}$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、495 B、522 C、630 D、730

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8. 如图，在半径为2的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 12 0^{∘}$ ，点 $P$ 是弧 $A B$ 上的一点，则 $\vec{A P} · \vec{B P}$ 的最小值为（）

A、-4 B、-3 C、-2 D、-1

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 2}{a + 2}$ B、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} < \frac{a}{b}$ C、 $2 \sqrt{a} > \sqrt{a - b} + \sqrt{b}$ D、 $l g \frac{a + b}{2} > \frac{l g a + l g b}{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 6 ， b = 9 ， A = 4 5^{∘}$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 B、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} < 0$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$ D、若 $s i n A - s i n B = c o s B - c o s A$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是棱 $B C ， C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A_{1} P$ 与平面 $A E F$ 的垂线垂直，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹是一条线段 B、点 $P$ 与点 $C$ 到平面 $A E F$ 的距离相等 C、 $A_{1} P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成最大角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $A_{1} P$ 与 $E F$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{3 \sqrt{10}}{10} ， 1]$

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12. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x - 1) = f (3 - 2 x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ .设函数 $g (x) = l o g_{5} | x - 1 |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、 $f (2022) + f (2023) = 1$ C、 $f (x)$ 的图象在 $x = \frac{7}{2}$ 处的切线方程为 $y = - x + \frac{7}{4}$ D、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象所有交点的横坐标之和为10

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三、填空题

13. 已知向量 $a ， b$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 3 \sqrt{2} ， | \vec{a} + \vec{b} | = 5$ ，则 $(3 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ .

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = 4$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}} =$ .

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15. 用 $m i n {a ， b ， c}$ 表示 $a ， b ， c$ 三个数中最小值，则函数 $f (x) = m i n {4 x + 1 ， x + 4 ， - x + 8}$ 的最大值是．

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16. 在侧棱长为 $\sqrt{2}$ ，底面边长为2的正三棱锥P-ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，M，N分别为PE和平面PAF上的动点，则 $B M + M N$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x - 2 a + 5 < 0$ 的解集是 ${x | - 1 < x < \frac{1}{3}}$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $a m + b n = 1$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n - 1} - a_{n} = - 2 (n ⩾ 2$ 且 $n \in N^{*})$ ，且 $a_{2} = 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{2^{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{2}{3} ⩽ T_{n} < 1$ .

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19. 如图，在五面体 $A B C F M$ 中，四边形 $A C F M$ 为直角梯形， $F M ∥ A C ， F M < A C ， A C ⊥ C F$ ， $C F ⊥ B C$ ，且 $B C = C F = 1 ， A C = \sqrt{3} ， ∠ A B C = 6 0^{∘}$ .

(1)、证明：平面 $B C M ⊥$ 平面 $A C F M$ ；

(2)、若平面 $M A B$ 与平面 $F C B$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{19}}{19}$ ，求五面体 $A B C F M$ 的体积.

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20. 已知函数 $f (x) = (l o g_{2} x)^{2} + a l o g_{2} x + 3 (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 4]$ 上的值域；

(2)、若关于x的方程 $f (x) + a = 0$ 在 $[1 ， 8]$ 上有解，求实数a的取值范围.

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21. 在① $b s i n \frac{A + B}{2} = c s i n B$ ， ② $\frac{c}{c o s C} = \frac{a + b}{c o s A + c o s B}$ ， ③ $\sqrt{3} (c c o s A - b) = - a s i n C$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足____.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，角 $A$ 与角 $B$ 的内角平分线相交于点 $D$ ，求 $△ A B D$ 面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x + \frac{a}{x} + a - 2 (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 有且仅有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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