河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期数学10月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 ≥ 0}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 4}$ B、 ${x | x ≥ 4$ 或 $x ≤ - 1}$ C、 ${x | - 4 < x < 1}$ D、 ${x | x ≥ 1$ 或 $x ≤ - 4}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} = 2 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} i$ B、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} i$ D、 $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$

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3. 随着人们环保意识的增强，一次性筷子的使用率在降低．某调查小组为了了解目前一次性筷子的使用情况，在街头随机抽取了一部分人做了一次问卷调查，其中老年人、中年人、青年填写的问卷分别有200份、300份、500份，现在用分层抽样的方法抽出样本进行研究，若抽取的样本中中年人填写的问卷有60份，则样本量为（）

A、60 B、150 C、200 D、300

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率是 $\sqrt{3}$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率是（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角B是最大的内角，“ $s i n B + c o s B = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $a > b > | m |$ ，则 $\frac{b + m}{a + m}$ 和1的大小关系是（）

A、 $\frac{b + m}{a + m} < 1$ B、 $\frac{b + m}{a + m} = 1$ C、 $\frac{b + m}{a + m} > 1$ D、与m的取值有关

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 0$ ），若 $f (2) = \frac{1}{3}$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. “易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为 $2 \sqrt{2} + 2$ ， $| A B | = | M N | = 4$ ．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{3} ， 4]$ B、 $[2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{3}]$ C、 $[12 + 8 \sqrt{2} ， 16 + 8 \sqrt{2}]$ D、 $[8 + 8 \sqrt{2} ， 12 + 8 \sqrt{2}]$

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二、多选题

9. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{4}{| x | - 2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq ± 2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (f (- 5)) = - 6$ D、 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$

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11. 若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{4 x - x^{2}} = a x + a - 2$ 有两个不同的实根，则 $a$ 的取值可以是（）

A、2 B、 $\frac{11}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、3

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12. 已知函数 $f (x) = c o s x - c o s 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 2]$ C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的所有零点之和为 $\frac{3 π}{2}$

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三、填空题

13. ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数是．（用数字作答）

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14. 函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程是．

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15. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 5$ ， $A B = 6$ ，则该四棱锥内切球的表面积是．

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16. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 的任意两点，四边形 $A B F_{1} F_{2}$ 是平行四边形，且 $| A B | \leq 2 | A F_{2} |$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是．

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四、解答题

17. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 9$ ， $S_{3} - a_{1} = 36$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + l o g_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = 3$ ， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $D$ 是棱 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} C ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ．

(2)、求平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 与平面 $A B_{1} D$ 夹角的余弦值．

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19. 已知盒子里有3个黑球，2个白球，甲、乙两人依次轮流从中有放回地摸1个球，每人摸球2次．规则如下：甲先摸球，若摸出黑球，得2分，否则得1分；再由乙第一次摸球，若摸出黑球，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次摸球，若摸出黑球，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；最后乙第二次摸球，摸出黑球，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分．

(1)、求乙累计得分超过2分的概率；

(2)、记 $X$ 为甲第二次摸球的得分，求 $X$ 的分布列与期望．

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20. 如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中 $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ， $A B = A C = 8$ 米．现将该三角形菜地分成三块，其中 $∠ D A E = 6 0^{∘}$ ．

(1)、若 $∠ C A E = 1 5^{∘}$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、求 $△ A D E$ 面积的最小值．

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D (x_{0} ， 2)$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| D F | = 2$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程．

(2)、直线 $l$ ： $x = m y + t$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (- 4 ， 0)$ ，若 $∠ A P O = ∠ B P O$ （ $O$ 为坐标原点），直线 $l$ 是否恒过点 $M$ ？若是，求出定点 $M$ 的坐标；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2}$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，证明： $f (x) + 2 x \leq 0$ ．

(2)、记函数 $g (x) = (x - 1) e^{x} - f (x)$ ，若 $g (x)$ 为增函数，求a的取值范围．

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