河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期理数10月联考试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {- 4 ， - 2 ， 0 ， 2 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， 0}$ B、 ${- 4 ， - 2 ， 0 ， 2}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 2 ， 4}$

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2. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (2) x^{2} + x - 3$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、-1 B、1 C、-5 D、5

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3. 一艘轮船从A处沿正东方向航行10千米到达B处，再从B处沿北偏东30°的方向航行15千米到达C处，则A，C之间的距离是（）

A、 $5 \sqrt{7}$ 千米 B、 $5 \sqrt{10}$ 千米 C、20千米 D、 $5 \sqrt{19}$ 千米

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4. 已知 $a = 3^{0.1}$ ， $b = l o g_{0.3} 0.5$ ， $c = l o g_{0.5} 0.2$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角B是最大的内角，“ $s i n B + c o s B = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $\frac{s i n (α + \frac{π}{2}) - s i n (α - π)}{s i n (α + π) - c o s (α + 3 π)} = 2$ ，则 $t a n 2 α =$ （）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），若 $f (2) = \frac{1}{3}$ ，则 $f (- 2) =$ （）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 内恰有三条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3} ， \frac{11}{6})$ B、 $(\frac{4}{3} ， \frac{11}{6}]$ C、 $[\frac{13}{12} ， \frac{19}{12})$ D、 $(\frac{13}{12} ， \frac{19}{12}]$

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9. 已知 $a > b > | m |$ ，则 $\frac{b + m}{a + m}$ 和1的大小关系是（）

A、 $\frac{b + m}{a + m} < 1$ B、 $\frac{b + m}{a + m} = 1$ C、 $\frac{b + m}{a + m} > 1$ D、与m的取值有关

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10. “易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为 $2 \sqrt{2} + 2$ ， $| A B | = | M N | = 4$ ．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{3} ， 4]$ B、 $[2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{3}]$ C、 $[12 + 8 \sqrt{2} ， 16 + 8 \sqrt{2}]$ D、 $[8 + 8 \sqrt{2} ， 12 + 8 \sqrt{2}]$

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11. 已知 $x > 0$ ， $y ≥ 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，若 $\frac{1}{2} m^{2} - \frac{5}{2} m \leq \frac{x + 2 y + 1}{x} - \frac{4}{x + y}$ 恒成立，则满足条件的整数m的个数是（）．

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 函数 $f (x) = c o s x - c o s 3 x$ 的最大值是（）．

A、1 B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则．

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14. 已知函数 $f (2 x - 1) = 4 x + 5$ ，若 $f (a) = 13$ ，则 $a =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c， $c o s C = \frac{3}{4}$ ，且 $△ A B C$ 的周长和面积分别是14和 $3 \sqrt{7}$ ，则 $c =$ ．

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16. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x) < 2$ ，且 $f (4) = 5$ ，则不等式 $f (2^{x}) > 2^{x + 1} - 3$ 的解集是．

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} - 4 x + 1$ ．已知p： $f (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上单调递减；q：存在 $x \in [1 ， m]$ ，使得 $f^{'} (x) = 0$ ，其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若p是真命题，求a的取值范围；

(2)、若“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，求m的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 内的值域．

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19. 为了更高效地推进乡村振兴，某乡村振兴小组计划对甲、乙两个项目共投资100万元，并且规定每个项目至少投资20万元依据前期市场调研可知甲项目的收益 $p (t)$ （单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式 $p (t) = - \frac{1}{600} t^{3} + 16 t$ ；乙项目的收益 $g (t)$ （单位：万元）与投资金额（单位：万元）的数据情况如下表所示．
投资金额t
40
55
100
收益 $g (t)$
30
7.5
30
设甲项目投资x万元，两个项目的总收益为 $f (x)$ （单位：万元）．

(1)、根据所给数据，从① $g (t) = a t + b$ ；② $g (t) = a l n t + b$ ；③ $g (t) = a {(t - m)}^{2} + n (a \neq 0)$ 三个函数中选取一个合适的函数描述乙项目的收益 $g (t)$ 与投资金额t的变化关系，并求出该函数解析式．

(2)、试问如何安排甲、乙这两个项目的投资金额，才能使总收益 $f (x)$ 最大？并求出 $f (x)$ 的最大值．

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20. 如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中 $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ， $A B = A C = 8$ 米．现将该三角形菜地分成三块，其中 $∠ D A E = 6 0^{∘}$ ．

(1)、若 $∠ C A E = 1 5^{∘}$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、求 $△ A D E$ 面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2}$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，证明： $f (x) + 2 x \leq 0$ ．

(2)、记函数 $g (x) = (x - 1) e^{x} - f (x)$ ，若 $g (x)$ 为增函数，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 $2 ρ c o s θ - ρ s i n θ + 2 = 0$ ．

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点，点 $P (0 ， 2)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + | x + a |$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 7$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求a的取值范围．

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投资金额t	40	55	100
收益 $g (t)$	30	7.5	30