河南省安阳市2022-2023学年高三上学期理数10月月考试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 0 ≤ x - 1 < 3}$ ， $N = {x | 2 < x ≤ 3}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M \cap N = \emptyset$ D、 $∁_{R} N \subseteq M$

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2. 若复数 $z = \frac{a^{2} + a i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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3. 若“ $| x + 1 | = 2$ ”是“ $l o g_{2} x + 2^{x} = a$ ”的必要不充分条件，则实数 $a =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 下列四个函数中的某个函数的部分图象如图所示，则此函数为（）

A、 $f (x) = x^{3} (x^{2} - 1)$ B、 $f (x) = x^{2} (| x | - 1)$ C、 $f (x) = x^{3} l n | x |$ D、 $f (x) = x^{3} (e^{| x |} - 1)$

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5. 过点 $(0 ， 2)$ 且与直线 $y = x - 2$ 相切，圆心在x轴上的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 3$ B、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5$ C、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ D、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 8$

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $B B_{1}$ 的中点， $\vec{B_{1} F} = λ \vec{B_{1} D_{1}}$ ，且 $E F / /$ 平面 $A C D_{1}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 是偶函数， $f (x + 2)$ 是奇函数，则 $f (2022) =$ （）

A、 $f (1)$ B、 $f (2)$ C、 $f (3)$ D、 $f (4)$

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8. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）

A、-448 B、-1024 C、-1792 D、-5376

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9. 已知 $s i n 2 α = \frac{1}{3}$ ，且 $α ∈ (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $t a n (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10. 某学习小组用计算机软件对一组数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 8)$ 进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程 $\hat{y} = 2 x + 5$ ，样本点的中心为 $(2 ， m)$ .乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据 $(3 ， 7)$ 误输成 $(7 ， 3)$ ，数据 $(4 ， 6)$ 误输成 $(4 ， - 6)$ ，将这两个数据修正后得到回归直线方程 $\hat{y} = k x + \frac{9}{2}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{13}{3}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点A，B在C上（A在第四象限，B在第一象限），满足 $A F ⊥ B F$ ，且 $2 | A F | = | B F |$ ，则直线AB的斜率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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12. 设 $a = e^{- 0.3}$ ， $b = 0.85$ ， $c = l n 2.25$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，且 ${| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2}$ ，则实数 $m =$ .

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14. 算盘是一种起源于我国古代的计算工具，距今有两千多年的历史，早期算盘多为五珠算盘（每档5个算珠），后来为了方便计算重量（古时1斤等于16两），人们又发明了七珠算盘.如图所示，取七珠算盘的一部分，一档为斤，一档为两，横梁上方的算珠每个记作数字5，横梁下方的算珠每个记作数字1，若拨动图中的2个算珠，则可以表示的不同重量有种.

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15. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为9， $A B > B C$ ， $A C = A B_{1}$ ，且异面直线AC与 $B_{1} D_{1}$ 所成的角为 $60 °$ ，则该长方体的表面积为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，点D在边BC上，已知 $∠ A B C = ∠ C A D = 45 °$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $△ A C D$ 的面积为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ ，则 $\frac{D C}{B D} =$ .

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三、解答题

17. 某地出现新冠肺炎疫情，这次疫情持续了6周，根据每周统计的新增病例的情况，得到下面的统计表：
第 $n$ 周
1
2
3
4
5
6
新增病例数
10
25
55
40
15
5

(1)、有人从该地的人口数据电子信息表中，随机抽取了6000人，结果发现里面有2人是这次疫情新增的病例，估计该地人口总数；

(2)、如果一周内新增的病例不低于20人，则称这一周为“高风险周”，从这6周中随机抽取3周，求抽取到高风险周的个数 $X$ 的分布列和数学期望.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $2 S_{n} \cdot S_{n + 1} = - a_{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，求 $b_{1} + b_{21}$ 的值.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，将 $△ A B C$ 沿直线 $A C$ 折起到 $△ A P C$ 的位置，使 $P D = 3$ .

(1)、证明： $P D ⊥ A C$ ；

(2)、求二面角 $C - P A - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $M_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，面积为 $\frac{48}{7}$ 的正方形ABCD的顶点都在 $M_{1}$ 上.

(1)、求 $M_{1}$ 的方程；

(2)、已知P为椭圆 $M_{2} ： \frac{x^{2}}{2 a^{2}} + \frac{y^{2}}{2 b^{2}} = 1$ 上一点，过点P作 $M_{1}$ 的两条切线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{2 (x - 1)}{x + 1}$ .

(1)、证明：当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、若函数 $g (x) = l n x - x + k (k \in R)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > k + 1$ .

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22. 令极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合.已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2} t \\ y = \sqrt{2} t \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ - 2 s i n θ (ρ \geq 0 ， 0 \leq θ < 2 π)$ .

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点的极坐标；

(2)、设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点为A，B，点 $P (1 ， 0)$ ，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | - | x - b |$ ，其中 $a < b$ .

(1)、若不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为 $(- \infty ， 1]$ ，且 $b - a = 5$ ，求实数a，b的值；

(2)、若 $f (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 对称，且 $a > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

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第 $n$ 周	1	2	3	4	5	6
新增病例数	10	25	55	40	15	5