河北省部分名校2023届高三上学期数学第一次阶段测试试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | \frac{2}{x - 2} ≤ 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{-1} B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知命题 $p$ ： $∃ x ∈ N$ ， $e^{x} < 0$ （ $e$ 为自然对数的底数），则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $∀ x ∈ N$ ， $e^{x} < 0$ B、 $∀ x ∈ N$ ， $e^{x} > 0$ C、 $∃ x ∈ N$ ， $e^{x} ≥ 0$ D、 $∀ x ∈ N$ ， $e^{x} ≥ 0$

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3. 设 $a = l o g_{0.3} \sqrt{2}$ ， $b = {\sqrt{2}}^{0.3}$ ， $c = 0 . 2^{0.1}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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4. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = {(\sqrt{2})}^{- x}$ B、 $y = l o g_{\frac{1}{3}} x$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 2 x}$ D、 $y = | x - \frac{1}{2} |$

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5. 已知函数 $f (x) = c o s x$ ， $g (x) = \frac{1}{4} x + f^{'} (x)$ ，则 $g (x)$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{4}{5} s i n x + \frac{1}{5} c o s x$ ，当 $x = β$ 时， $f (x)$ 取得最大值，则 $c o s β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ B、 $\frac{4 \sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $x \in [- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = x^{2} + x$ ，则当 $x \in [4 ， 6]$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - 7 x + 12$ B、 $- x^{2} + 9 x - 20$ C、 $- x^{2} + 7 x - 12$ D、 $- x^{2} + 9 x + 20$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，设甲：函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增，乙： $ω$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{3}]$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 已知 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等关系中正确的是（）

A、 $b < a$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ C、 $a b^{2} < b^{3}$ D、 $\frac{b}{a} > 1$

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10. 将函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = f (x)$ 的图像，下列结论中正确的是（）

A、 $f (x) = s i n (4 x - \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x - \frac{π}{2})$ 的一个零点为 $- \frac{π}{6}$ D、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称

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11. 两位同学解关于 $x$ 的方程 $2^{2 x} + b \cdot 2^{x} + c = 0$ ，其中一个人写错了常数 $c$ ，得到的根为 $x = - 1$ 或 $x = l o g_{2} \frac{7}{4}$ ，另一人写错了常数 $b$ ，得到的根为 $x = 0$ 或 $x = - 1$ ，则下列是原方程的根的是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 0$ D、 $x = 1$

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12. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + \frac{m}{2} x + 2 (m > 0)$ ， $g (x) = e^{x} - 3 x^{2} + 1$ ，若不等式 $g (x) > 2 f (x) - x^{2} - 11$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则实数 $m$ 可能取到的正整数值为（）

A、9 B、8 C、6 D、4

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三、填空题

13. $\frac{\sqrt{3} s i n 132 °}{s i n 24 ° (2 c o s^{2} 12 ° - 1)} =$ ．

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且有 $a + 2 b = 2$ ，则 $\frac{a + b}{a b}$ 的最小值为.

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15. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意 $x ∈ [0 ， + ∞)$ ，都有 $3 f (x) + x f^{'} (x) > 0$ 恒成立， $f (2) = 2$ ，则不等式 ${(x - 1)}^{3} f (x - 1) < 16$ 的解集是.

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16. 已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\frac{1}{2} s i n α s i n 2 β + c o s α s i n^{2} β - s i n α = 0$ ，则 $t a n α$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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18. 已知 $0 < α < \frac{π}{4}$ ， $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求 $c o s α$ 的值；

(2)、若 $- \frac{π}{2} < β < 0$ ， $c o s (α - β) = \frac{3}{5}$ ，求 $c o s β$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 3) x + 3$ .

(1)、若函数 $y = l g [f (x) + 1]$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ .

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的图像如图所示，直线 $l$ 经过 $f (x)$ 图像的最高点M和最低点N， $M (\frac{1}{2} ， 1)$ 且 $| M N | = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 解析式；

(2)、计算 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋅ ⋅ ⋅ + f (2021)$ .

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21. 函数 $f (x) = x^{2} e^{- 2 x}$ .

(1)、若 $f (x) = m$ 有三个解，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = x^{3}$ ，且 $∀ x ∈ (- ∞ ， 0)$ ， $f (x) - x^{2} > a g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f (x) + 3 x + 1$ ，当 $x_{1} + x_{2} \geq 0$ ，求证： $g (x_{1}) + g (x_{2}) \geq 4$ .

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