广东省湛江市2023届高三上学期数学调研测试试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | \sqrt{x} < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 4}$ B、 ${x | - 2 < x < 4}$ C、 ${x | - 2 < x < 3}$ D、 ${x | 0 \leq x < 3}$

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2. ${(1 + i)}^{6} =$ （）

A、 $- 6 i$ B、 $8 i$ C、 $- 8 i$ D、 $6 i$

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3. 函数 $f (x) = \frac{s i n x + x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知双曲线 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{5} x$ ，则 $m =$ （）

A、5 B、-5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、-25

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5. 已知 $a = l n 2$ ， $b = l o g_{5} 2$ ， $c = e^{\frac{1}{4}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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6. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B M$ B、 $A_{1} B_{1} / /$ 平面BDM C、 $B M / /$ 平面 $A C D_{1}$ D、 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} M C$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为AB的中点，若P为CD上一点，且 $\vec{A P} = x \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，则圆锥体积的最大值为（）

A、 $\frac{128 π}{27}$ B、 $\frac{256 π}{27}$ C、 $\frac{256 π}{81}$ D、 $\frac{128 π}{81}$

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二、多选题

9. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：x（单位：万元）与销售利润y（单位：万元）的相关数据，如表所示，根据表中数据，得到经验回归方程 $l ： \hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则下列结论正确的是（）
广告费用x
3
4
5
8
销售利润y
4
5
7
8

A、 $\hat{b} > 0$ B、 $\hat{a} > 0$ C、直线l必过点 $(4 ， 7)$ D、直线l必过点 $(5 ， 6)$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增

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11. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且 $| A F |$ 的最小值为1，M是线段AB的中点， $P (2 ， 3)$ 是平面内一定点，则（）

A、 $p = 2$ B、若 $| A F | + | B F | = 8$ ，则M到x轴距离为3 C、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $| \vec{A B} | = 3$ D、 $| A P | + | A F |$ 的最小值为4

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12. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x l n x$ ；当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) = 2 f (x - 1)$ ．下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的周期为2 B、当 $x \in [- 2 ， - 1)$ 时， $f (x) = 2 (x + 1) l n (- x - 1)$ C、若 $\forall n \in N^{*}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} f (\frac{1}{e} + i) \leq λ$ ，则 $λ \geq - \frac{1}{e}$ D、若方程 $f (x) = k x - \frac{1}{2}$ 在 $[0 ， 2]$ 上恰有三个根，则实数k的取值范围是 $(1 - l n 2 ， \frac{1}{2})$

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三、填空题

13. 一个正棱锥有6条棱，高为 $\sqrt{3}$ ，底面边长为 $4$ ，其体积为．

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14. $(1 + \frac{y}{x}) {(x - y)}^{10}$ 展开式中 $x^{2} y^{8}$ 的系数为．

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15. 写出与直线 $2 x + 4 y - 5 = 0$ 垂直且和圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 8 = 0$ 相切的一条直线的方程：．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} + a l n x - a x$ 存在唯一的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = - 3 ， {\frac{2 S_{n}}{n}}$ 是公差为2的等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， E为 $B B_{1}$ 的中点， $A B = C C_{1} = 2 B C = 2$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ C_{1} E$ ．

(2)、求二面角 $A - E C_{1} - B$ 的余弦值．

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19. 已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{c}{a + b} + \frac{b}{a + c} = 1$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若AD平分 $∠ B A C$ 并交BC于D，且 $A D = 2$ ， $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．
时间 $t / m i n$
$[0 ， 12)$
$[12 ， 24)$
$[24 ， 36)$
$[36 ， 48)$
$[48 ， 60)$
$[60 ， 72]$
人数
6
30
35
10
6
4

(1)、从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；

(2)、估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；

(3)、以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在 $[48 ， 72]$ 的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 垂直于x轴的直线被椭圆E所截得的线段长 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、直线 $y = k x (k ≠ 0)$ 与椭圆E交于A，B两点，直线 $A F_{1}$ 交椭圆E于点C，若 $S_{△ A B C} = \frac{12}{7}$ ，求直线AC的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + a x + 1$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) - x e^{x} \leq 0$ 恒成立，求a的取值范围．（参考数据： $\sqrt{e} \approx 1.6$ ， $l n 2 \approx 0.7$ ）

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时间 $t / m i n$	$[0 ， 12)$	$[12 ， 24)$	$[24 ， 36)$	$[36 ， 48)$	$[48 ， 60)$	$[60 ， 72]$
人数	6	30	35	10	6	4

广告费用x	3	4	5	8
销售利润y	4	5	7	8