甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期理数第四次检测试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | l n x < 1} ， B = {x | x^{2} - 4 x - 12 \geq 0}$ ，则 $A ∪ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- \infty ， 6)$ B、 $(- 2 ， 6)$ C、 $(0 ， 6)$ D、 $(0 ， e)$

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线平行于直线 $l ： y = 2 x + 10$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 已知 $X ~ B (10 ， 0.5)$ ， $Y = 2 X - 8$ ，则 $E (Y) =$ （）

A、6 B、2 C、4 D、3

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4. 用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ⋯ \frac{1}{2 n} > \frac{23}{24} (n \geq 2)$ 的过程中，由 $n = k$ 递推到 $n = k + 1$ 时，不等式左边（）

A、增加了一项 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、增加了一项 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ C、增加了 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ ，又减少了 $\frac{1}{k + 1}$ D、增加了 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ ，又减少了 $\frac{1}{k + 1}$

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5. $(1 + \frac{1}{x}) (1 + x)^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、25 B、20 C、15 D、10

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6. 函数 $f (x) = (\frac{1}{x} - x) c o s x$ （ $- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0$ ）的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $x$ 为区间 $[- 2 ， 9]$ 内的均匀随机数，执行如图所示的程序框图后，输出 $y$ 的值落在区间 $[- 4 ， 2]$ 内的概率为（）

A、 $\frac{4}{11}$ B、 $\frac{5}{11}$ C、 $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{7}{11}$

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8. 已知随机变量 $ξ_{i}$ 满足 $P (ξ_{i} = 0) = p_{i}$ ， $P (ξ_{i} = 1) = 1 - p_{i}$ ，且 $0 < p_{i} < \frac{1}{2}$ ， $i = 1 ，_{} 2$ ．
若 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$ ，则（）

A、 $p_{1} < p_{2}$ ，且 $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ B、 $p_{1} > p_{2}$ ，且 $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ C、 $p_{1} < p_{2}$ ，且 $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ D、 $p_{1} > p_{2}$ ，且 $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$

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9. 小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还货方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）

A、小王一家2019年用于饮食支出费用与2016年相同 B、小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍 C、小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了一倍 D、小王一家2019年的房贷支出比2016年减少了

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ，分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，过点 $D_{1}$ ， $E$ ， $F$ 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 $V_{1} ， V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，则 $V_{1} ： V_{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{25}{47}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = - 1$ 在 $(0 ， π)$ 上有且只有三个实数根，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{13}{6} ， \frac{7}{2}]$ B、 $(\frac{7}{2} ， \frac{25}{6}]$ C、 $(2 ， \frac{10}{3}]$ D、 $(\frac{10}{3} ， 4]$

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二、填空题

13. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为.

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14. 有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片.
结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为.

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15. 已知抛物线 $y^{2} = x$ 上一点 $A (1 ， 1)$ ，过点 $A$ 作抛物线的两条弦 $A B$ ， $A C$ ，且 $A C ⊥ A B$ ，则直线 $B C$ 经过定点为．

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16. 如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有种.

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三、解答题

17. 已知如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B = \frac{280}{39}$ ， $A D = 13$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $c o s ∠ B A C = \frac{12}{13}$ .

(1)、求 $A C$ ；

(2)、求 $D C$ .

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18. 甲、乙两位同学参加数学建模比赛.在备选的6道题中，甲答对每道题的概率都是 $\frac{2}{3}$ ；乙能答对其中的4道题.甲、乙两人都从备选的6道题中随机抽出4道题独立进行测试.规定至少答对3题才能获奖.

(1)、求甲同学在比赛中答对的题数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、求比赛中甲、乙两人至少有一人获奖的概率.

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19. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点

(1)、求证：平面EAC⊥平面PBC

(2)、若二面角P-AC-E的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值

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20. 某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入 $x$ （百万元）与收益 $y$ （百万元）的数据统计如下：
科技投入 $x$
2
4
6
8
10
12
收益 $y$
5.6
6.5
12.0
27.5
80.0
129.2
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线 $y = c \cdot 2^{b x}$ 的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：
$\bar{y}$
$\bar{z}$
$\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \overset{\land}{y_{i}})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$
$\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
43.5
4.5
298.5
34.7
12730.4
70.0
其中 $z_{i} = l o g_{2} y_{i}$ ， $\bar{z} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} z_{i}$ .
附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ 、 $(u_{2} ， v_{2})$ 、 $⋯$ 、 $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线方程 $\overset{\land}{v} = \overset{\land}{α} + \overset{\land}{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计为 $\overset{\land}{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{α} = \bar{v} - \overset{\land}{β} \bar{u}$ .相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \overset{\land}{v})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}}$ .

(1)、（i）请根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程（保留一位小数）；
（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中 $l o g_{2} 5 \approx 2.3$ ）

(2)、乙认为样本点分布在二次曲线 $y = m x^{2} + n$ 的周围，并计算得回归方程为 $\overset{\land}{y} = 0.92 x^{2} - 12.0$ ，以及该回归模型的相关指数 $R^{2} = 0.94$ ，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好.

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦点是F₁ ， F₂ ，且| F₁F₂|=2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过椭圆右焦点F₂的直线 $l$ 交椭圆于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ （ $x_{1} > x_{2}$ ）两点，点Q是直线l上异于F₂的一点，且满足 $\vec{A Q} = λ \vec{B Q} ， \vec{F_{2} A} = λ \vec{B F_{2}}$ .求证：点Q的横坐标是定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x + a s i n x$ ， $g (x) = m l n x (m < 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的零点个数；

(2)、 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ 有 $h (x_{1}) = h (x_{2})$ 成立，证明： $\frac{x_{1} x_{2}}{4 m^{2}} < 1$ ．

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$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \overset{\land}{y_{i}})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$	$\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
43.5	4.5	298.5	34.7	12730.4	70.0

科技投入 $x$	2	4	6	8	10	12
收益 $y$	5.6	6.5	12.0	27.5	80.0	129.2