甘肃省武威市凉州区部分校联考2022-2023学年高三上学期理数第二次诊断数学试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ‖ x - 1 ∣ < 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B$ 等于（）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x \geq 0$ ， $e^{x} \geq 1$ 或 $s i n x < 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x < 0$ ， $e^{x} < 1$ 且 $s i n x ≥ 1$ B、 $\exists x \geq 0$ ， $e^{x} < 1$ 且 $s i n x ≥ 1$ C、 $\exists x \geq 0$ ， $e^{x} < 1$ 或 $s i n x ≥ 1$ D、 $\exists x < 0$ ， $e^{x} \geq 1$ 或 $s i n x \leq 1$

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3. “命题 $p \lor q$ 为假”是“命题 $p \land q$ 为假”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \ln (x + 2) + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 3) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， 3) \cup (3 ， + \infty)$

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5. 设 $a = 3 . 1^{0.8} ， b = l o g_{3.1} 0.8 ， c = 0 . 8^{3.1}$ ，则a，b，c的大小关示是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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6. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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7. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m + 1) x^{2 m - 1}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数，则实数 $m$ 的值为（）

A、-2 B、0或2 C、0 D、2

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8. 如果奇函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， - 2]$ 上单调递增且有最大值6，那么函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上（）

A、单调递增且最小值为﹣6 B、单调递增且最大值为﹣6 C、单调递减且最小值为﹣6 D、单调递减且最大值为﹣6

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9. 若对 $\forall x \in [1 ， 2]$ ，有 $x^{2} - a \leq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a \leq 5$ D、 $a \geq 5$

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10. 函数 $f (x) = 2 x l n | x | - 2 x + \frac{1}{x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ l n x ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) + x - m$ 恰有两个不同的零点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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12. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 1$ （ $a ， b \in R$ 且 $a > 0$ ）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、（﹣1，1） B、（﹣1，+∞） C、（﹣2，1） D、（﹣2，+∞）

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \leq 4 \\ x - y \leq 1 \\ x + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为．

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14. ${[{(- 2)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + 4^{l o g_{2} \sqrt{2}} + l o g_{\sqrt{2}} 4 =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x > 2 \\ 2^{x} ， x \leq 2 \end{array}$ ，若 $f (a) = \frac{1}{2}$ ，则实数 $a =$

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16. 已知命题 $p ： (x - m)^{2} < 9$ ，命题 $q ： l o g_{4} (x + 3) < 1$ ，若p是q的必要不充分条件．则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. 解下列不等式：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ；

(2)、 $\frac{3 x - 1}{2 - x} > 0$ ．

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18.

(1)、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 1) = 4 x^{2} - 6 x + 5$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (\frac{1}{x}) = 3 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{a}{x}$ ，且 $f (2) = \frac{9}{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值并判断该函数的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在（1，+∞）上的单调性并证明.

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20.

(1)、已知 $x > 5$ ，求 $\frac{4}{x - 5} + x$ 的最小值；

(2)、已知x，y是正实数，且 $2 x + 3 y = 4$ ，求xy的最大值.

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21. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \frac{3}{5} t \\ y = - 1 + \frac{4}{5} t \end{array}$ t为参数).若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 $ρ = c o s θ + s i n θ$ .

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、求直线l被曲线C所截得的弦长.

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22. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元，当产量不足 $60$ 万箱时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 50 x$ ；当产量不小于 $60$ 万箱时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 1860$ ，若每箱口罩售价 $100$ 元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

(1)、求口罩销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万箱）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

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