福建省百校联考2023届高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x + 3 < 7}$ ， $B = {x | y = l n (x + 3)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 3 < x < 2}$ C、 ${x | - 3 < x < - 2}$ D、 ${x | x ⟨ - 3 或 x ⟩ 2}$

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2. 命题“ $\exists x \in Q$ ， $\sqrt{x^{2} + 1} \in Q$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in Q$ ， $\sqrt{x^{2} + 1} \notin Q$ B、 $\forall x \notin Q$ ， $\sqrt{x^{2} + 1} \in Q$ C、 $\exists x \in Q$ ， $\sqrt{x^{2} + 1} \in Q$ D、 $\forall x \in Q$ ， $\sqrt{x^{2} + 1} \in Q$

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3. 青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度 $y$ 与时间 $x$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，则“ $∠ B A D = 9 0^{°}$ ”是“四边形 $A B C D$ 为直角梯形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $y = e^{- 2} x + b$ 与曲线 $y = l n x - a$ 相切，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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6. $已知 \frac{s i n (θ - π) + 2 c o s θ}{s i n (θ + \frac{5 π}{2}) + 2 c o s (θ - \frac{π}{2})} = 1$ ，则 $c o s 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (4 - x) = 0$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、-4 B、-3 C、3 D、0

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8. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $3^{b} = 5$ ，则 $l o g_{6} 15 =$ （）

A、 $\frac{a + a b}{a + 1}$ B、 $\frac{a}{a + 1}$ C、 $\frac{a + a b}{a b + 1}$ D、 $\frac{a}{a b + 1}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{3} + k x^{2} + x + a$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的极大值点， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $x_{1} + x_{2} = \frac{1}{3}$ C、 $x_{1} x_{2} = \frac{1}{3}$ D、 $- \sqrt{3} < k < \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ）的部分图像如图所示，则（）

A、 $A = 3$ ， $ω = 3$ ， $φ = \frac{π}{6}$ B、 $f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 是 $f (x)$ 图像的一条对称轴 D、函数 $f (x + \frac{π}{4})$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减

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11. 若 $c < b < a < 0$ ，则（）

A、 $a - c < b - c$ B、 $c | b | < b | a |$ C、 $\frac{c}{a} > \frac{b + c}{a + c}$ D、 $\frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{a + c} > 1$

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12. 已知 $a = 5 - 8 l n 2$ ， $b = 4 - 4 l n 3$ ， $c = e^{\frac{5}{4}} - 4$ ，则（）

A、 $b > a$ B、 $c > a$ C、 $b > c$ D、 $a > c$

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三、填空题

13. 所数 $y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x + 3}$ 的定义域是.

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14. 函数 $f (x) = a^{x + 2} + 2$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $P$ .则点 $P$ 的坐标是.

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15. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足① $a b + a + 2 b = 7$ ， ② $2 a + b = a b$ 两个条件中的一个，则 $a + b$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x - 1 ， x \geq 0 ， \\ 2^{x} - 2 ， x < 0 ， \end{array}$ 若方程 $[f (x)]^{2} - 2 a f (x) + 4 = 0$ 有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $B = {x | a - 2 < x < 2 a + 1}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${(5 - a)}^{\frac{1}{m}} > {(2 a - 1)}^{\frac{1}{m}}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x - c o s ω x (ω > 0)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有且仅有2个极值点，求 $ω$ 的取值范围；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $g (x)$ 的单调递减区间．

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20. 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为 $T_{0}$ ，那么经过 $t$ 分钟后，温度 $T$ 满足 $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ，其中 $T_{a}$ 为室温， $h$ 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯 $7 5^{∘} C$ 的茶水放在 $2 5^{∘} C$ 的房间，10分钟后茶水降温至 $5 0^{∘} C$ .（参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 3 \approx 0.48$ ）

(1)、若欲将这杯茶水继续降温至 $3 5^{∘} C$ ，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2)、为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产 $x$ 千台空调，需另投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x^{2} + 60 x ， 0 < x < 40 ， \\ 301 x + \frac{3600}{x} - 3700 ， x ⩾ 40 . \end{array}$ 已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{4} + a x^{3} - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．

(2)、试问直线 $y = - 5 x + 2$ 能否为曲线 $y = f (x)$ 的一条切线？说明你的理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - x^{2} + (a - 2) x - 1$

(1)、若 $a = 0$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ .

(2)、若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > a l n (x + 1)$ ，求a的取值范围.

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