天津市滨海新区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 $5 x^{2} - 1 = 4 x$ 化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（）

A、 $5 ， - 4$ B、 $4 ， - 5$ C、 $5 ， - 1$ D、 $4 ， - 1$

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ 的开口方向、对称轴分别是（）

A、向上， $x$ 轴 B、向上， $y$ 轴 C、向下， $x$ 轴 D、向下， $y$ 轴

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3. 下列语句描述的事件为随机事件的是（）

A、通常加热到 $100 ° C$ 时，水沸腾 B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C、任意画一个三角形，其内角和是 $360 °$ D、从三张扑克牌J，Q，K中取出一张是A

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4. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 抛物线y=2（x+3）²+5的顶点坐标是（）

A、（3，5） B、（﹣3，5） C、（3，﹣5） D、（﹣3，﹣5）

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6. 下列各点中与点 $A (2 ， - 1)$ 关于原点对称的是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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7. 不透明袋子中装有 $5$ 个红球、 $3$ 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出 $1$ 个球，摸出红球的概率是（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ， $∠ C = 75 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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9. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A ⊥ B C$ ， $∠ A O C = 50 °$ ，则 $∠ A D B$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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10. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（）

A、1米 B、2米 C、3米 D、4米

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11. 如图，在△ $A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A C B = 50 °$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的内心，则 $∠ B O C$ 的度数是（）

A、 $125 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $135 °$

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c （ a \neq 0 ）$ 的图象经过点 $(- 1 ， 2)$ ，且与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1} ， x_{2}$ ，其中 $- 2 ＜ x_{1} ＜ - 1$ ， $0 ＜ x_{2} ＜ 1$ ．下列结论：① $4 a - 2 b + c ＜ 0$ ， ② $2 a - b ＜ 0$ ， ③ $b^{2} + 8 a ＞ 4 a c$ 中，正确的结论有（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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二、填空题

13. 抛物线 $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ 可以由抛物线 $y = x^{2}$ 先向左平移 $2$ 个单位，再向下平移个单位得到的．

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14. 在数学考试中，单项选择题（每个题目只有4个备选答案）是试卷的重要组成部分，当你遇到完全不会做的选择题时，如果你随便选择一个答案，那么你答对的概率为．

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15. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 2 k - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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16. $△ A B C$ 中， $A B = 13 ， A C = 5 ， B C = 12$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆的半径长是．

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17. 当 $x = a$ 或 $x = b$ （ $a \neq b$ ）时，代数式 $x^{2} - 4 x + 3$ 的值相等，则 $x = a + b$ 时，代数式 $x^{2} - 4 x + 3$ 的值为．

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18. 如图， $△ A B C$ 为边长为 $6$ 的等边三角形，点 $D ， E$ 分别为 $A C$ 和 $B C$ 的中点，点 $F$ 为 $△ A B C$ 内部一点，且 $D F = 2$ ，连接 $B F$ ，将线段 $B F$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $B G$ ，连接 $E G$ ．

(1)、当 $B 、 F 、 D$ 三点共线时，线段 $B F$ 的长度为；

(2)、在旋转过程中，线段 $E G$ 的最小值为．

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三、解答题

19.

(1)、因式分解法解方程： $2 x^{2} - x = 0$ ；

(2)、配方法解方程： $x^{2} + 10 x + 9 = 0$ ．

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20. 如图，在半径为 $4$ 的 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为 $4$ ．

(1)、求 $∠ A O B$ 的度数；

(2)、求点 $O$ 到 $A B$ 的距离．

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21. 甲口袋中装有 $2$ 个相同的小球，它们分别写有数字 $1$ 和 $2$ ，乙口袋中装有 $3$ 个相同的小球，它们分别写有数字 $3$ ， $4$ 和 $5$ ．从两个口袋中各随机取一个小球．请用画树状图或列表的方法求：

(1)、取出的 $2$ 个小球上的数字之和是奇数的概率是多少？

(2)、取出的 $2$ 个小球上的数字全是偶数的概率是多少？

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22. 已知： $△ A B D$ 内接于 $⊙ O$ ， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A D}$ ．

(1)、如图①，点 $C$ 在 $⊙$ $O$ 上，若 $∠ B C D = 60 °$ ，求 $∠ A B D$ 和 $∠ A D B$ 的大小；

(2)、如图②，点 $C$ 在 $⊙$ $O$ 外， $B D$ 是 $⊙$ $O$ 的直径， $B C$ 与⊙ $O$ 相切于点 $B$ ，若 $∠ B C D = 50 °$ ，求 $∠ C D A$ 的大小．

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23. 某村种的水稻2018年平均每公顷产8000kg，2020年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．
解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．

(1)、用含 $x$ 的代数式表示：
①2019年种的水稻平均每公顷的产量为kg；
②2020年种的水稻平均每公顷的产量为kg；

(2)、根据题意，列出相应方程；

(3)、解这个方程，得；

(4)、检验：；

(5)、答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为%．

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24. 四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F G$ 均为正方形，正方形 $A E F G$ 绕点A顺时针旋转．

(1)、正方形 $A E F G$ 绕点A顺时针旋转到如图①的位置时，且 $D 、 A 、 E$ 三点在同一直线上，则 $D G$ 和 $B E$ 的数量关系是； $D G$ 和 $B E$ 的位置关系是；

(2)、正方形 $A E F G$ 绕点A顺时针旋转到如图②位置时，且点 $F$ 落在线段 $D G$ 上．
①求证： $△ A B E ≌ △ A D G$ ；②若 $A B = 10 ， D F = 2$ ，求 $B F$ 的长；

(3)、如图③，若 $A B = 10$ ， $A G = 6$ ，正方形 $A E F G$ 绕点A顺时针旋转过程中，取 $D G$ 的中点 $M$ ，连接 $C M$ ，记 $△ C D M$ 的面积为S，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (3 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ，点 $D$ 是第一象限的抛物线上一动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．
①若 $D E = C E$ ，求 $D$ 点坐标；
②过点 $D$ 作 $D H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D C 、 D A$ ，当 $△ D E F$ 的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $S_{△ P A C} = S_{△ A C D}$ ，如果存在，请求出点 $P$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

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