山西省阳泉市平定县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 平面直角坐标系中，点 $(1 ， - 5)$ 关于原点对称的点坐标是（）

A、 $(- 1 ， 5)$ B、 $(- 1 ， - 5)$ C、 $(1 ， 5)$ D、 $(1 ， - 5)$

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2. 方程 $x^{2} = x$ 的解是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$

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3. 在word程序可以直接输入以下图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如果从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任意选取一个数．下列事件中是必然事件的是（）

A、这个数恰好大于2 B、这个数恰好是2的倍数 C、这个数恰好是3的倍数 D、这个数恰好不小于1

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5. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 8 x - 10 = 0$ 时，原方程可变形为（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = 26$ B、 ${(x - 4)}^{2} + 8 = 0$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 26$ D、 ${(x + 4)}^{2} - 8 = 0$

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6. 一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 将抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 2$ B、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 2$ C、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 4$ D、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 4$

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8. 如图，已知 $⊙ O$ 上三点 $A ， B ， C$ ，半径 $O C = 2$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，切线 $P A$ 交 $O C$ 延长线于点 $P$ ，则 $O P$ 的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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9. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = - 2.45 x^{2}$ B、 $y = - 2 x^{2}$ C、 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ D、 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$

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10. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆，交AC于点E，交BC于点D．若AB=8，∠C=60°，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3} + 4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 π}{3} + 4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{16 π}{3} + 8 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 一年之计在于春，为保障春播任务顺利完成，科研人员对某玉米种子在相同条件下发芽情况进行试验，结果如表：
每批粒数n
500
800
1000
2000
3000
发芽的频数m
463
768
948
1901
2851
发芽的频率 $\frac{m}{n}$
0.926
0.96
0.948
0.951
0.950
那么这种玉米发芽的概率是．（结果精确到0.01）

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12. 请你写出一个抛物线的函数表达式，使抛物线满足以下条件：（1）开口向上，（2）经过点 $(1 ， - 2)$ ，则这个表达式可以是．

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13. 如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在 $9 \times 9$ 个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷．小红在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字表示在A区域中有1颗地雷，那么第二步踩B区域，踩到地雷的概率为．

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14. 如图， $A ， B ， C ， D$ 是 $⊙ O$ 上的四点，且点 $B$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $B D$ 交 $O C$ 于点 $E$ ， $∠ O E D = 60 °$ ， $∠ O C D = 35 °$ ，那么 $∠ A O C =$ $°$ .

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，将正方形 $A B C D$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，连接 $D^{'} C$ ，当点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $D^{'} C$ 上时，线段 $D^{'} C$ 的长度是．（结果保留根号）

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三、解答题

16.

(1)、解方程： $4 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ ．

(2)、解方程： $3 x (x - 3) = 5 x - 15$ ．

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17. 已知，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 3)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (4 ， 4)$ .

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{1} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出点 $B_{2}$ ， $C_{2}$ 的坐标.

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18. 如图所示，某景区计划在一个长为 $36 m$ ，宽为 $20 m$ 的矩形空地上修建一个停车场，其中阴影部分为三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为 $336 m^{2}$ ，空白部分为宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？

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19. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
二次三项式的因式分解
我们把形如 $a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a \neq 0$ ）的多项式叫做关于x的二次三项式．我们可以利用求一元二次方程根的方法，将一般的二次三项式分解因式．
设一元二次方程 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ， $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ．计算： $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ 发现：
解： $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a})$
$= a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$
$= a x^{2} + b x + c$ ．
即 $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ．
这就是说，对二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 因式分解时，可先求方程 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的两个实数根，然后写成 $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ．
任务：

(1)、已知p，q是两个常数，一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 3$ ，则二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 分解因式的结果是；

(2)、请用阅读内容中的方法，因式分解： $3 x^{2} + 9 x - 12$ ．

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20. 《山西省城市生活垃圾分类管理规定》明确：山西城市生活垃圾分类采用“四分法”，即可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾活动课上环境卫士综合实践活动小组的同学们，分四组对收集的垃圾分类有关知识进行展示交流，展示顺序通过游戏决定．为此，同学们制作了如图所示编号为K，Y，C，Q的四张卡片，卡片除正面字母和内容外，其余完全相同．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、组长从中随机抽取一张卡片上的图标是“有害垃圾”的概率是；

(2)、组长从中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率．

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21.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.

(1)、求证：∠A=∠ADE；

(2)、若AD=16，DE=10，求BC的长.

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22. 综合与实践：如图（1），已知点E为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一动点（不与点C重合），连接 $B E$ ．

(1)、实践与操作：在图中，画出以点B为旋转中心，将线段 $B E$ 逆时针旋转 $90 °$ 的线段 $B F$ ，并且连接 $A F$ ．

(2)、观察与猜想：
观察图（1），猜想并推理可以得到以下结论：
结论1， $A F$ 和 $C E$ 之间的位置关系是；
结论2， $A F$ 和 $C E$ 之间的数量关系是．

(3)、探究与发现：
①如图（2），若点E在 $C A$ 延长线上时，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由．
②如图（2），若 $A E = 1$ ， $A F = 6$ ，请直接写出 $A B$ 的长．

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23. 综合与探究：如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求此抛物线的函数表达式；

(2)、若点D是第三象限抛物线上一动点，连接 $A D$ ， $C D$ ，求四边形 $A O C D$ 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；

(3)、若点E在抛物线的对称轴上，线段 $E B$ 绕点E顺时针旋转 $90 °$ 后，点B的对应点 $B^{'}$ 恰好也落在此抛物线上，求点E的坐标．

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每批粒数n	500	800	1000	2000	3000
发芽的频数m	463	768	948	1901	2851
发芽的频率 $\frac{m}{n}$	0.926	0.96	0.948	0.951	0.950