山西省忻州市偏关县2019-2020学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知一次函数 $y = k x + b$ ， $k$ 从2，-3中随机取一个值， $b$ 从1，-1，-2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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2. 若反比例函数y=﹣ $\frac{1}{x}$ 的图象经过点A（3，m），则m的值是（）

A、﹣3 B、3 C、﹣ $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 若 $x_{1} = - 1$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 5 = 0$ 的一个根，则此方程的另一个根 $x_{2} =$ （）

A、-5 B、 $\frac{1}{5}$ C、5 D、 $- \frac{1}{5}$

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4. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径， $C D$ 为弦， $C D ⊥ A B$ 且相交于点 $E$ ，则下列结论中不成立的是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ B、 $\overset{⌢}{C B} = \overset{⌢}{B D}$ C、 $∠ A C B = 90 °$ D、 $∠ C O B = 3 ∠ D$

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5. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax²+bx与y=bx+a的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是（）

A、（﹣3，﹣2） B、（2，2） C、（3，0） D、（2，1）

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7.
物理某一实验的电路图如图所示，其中K₁ ， K₂ ， K₃ 为电路开关，L₁ ， L₂为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K₁ ， K₂ ， K₃中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是（）

A、abc＜0 B、－3a＋c＜0 C、b²－4ac≥0 D、将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax²＋c

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9. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 $A B$ 的长度为（）

A、8mm B、6mm C、10mm D、0.9mm

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10. 学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y= $\frac{3 x + 1}{x}$ ，从而得出以下命题：
⑴当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；
⑵y的值有可能等于3；
⑶当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3；
⑷当y＞0时，x＞0或x＜－ $\frac{1}{3}$ ．
你认为真命题是（）

A、（1）（3） B、（1）（4） C、（1）（3）（4） D、（2）（3）（4）

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二、填空题

11. 已知 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 1)$ =6，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值是．

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12. 已知正比例函数 $y = k x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的一个交点是（2，3），则另一个交点是．

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13. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．

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14. 如图所示，D是等腰 $R t △ A B C$ 内一点，BC是斜边，如果将 $△ A B D$ 绕点A逆时针方向旋转到 $△ A C D^{'}$ 的位置，则 $△ A D D^{'}$ 的度数为．

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15. 如图为二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax²＋bx＋c＝0的根是x₁＝－1，x₂＝3；③a＋b＋c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大．正确的有：．

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三、解答题

16. 解下列方程：

(1)、 $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

(2)、 $(x - 5) (x + 7) = 1$

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17. 如图，桌面上放置了红，黄，蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏．

(1)、随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；

(2)、随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率．

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18. 正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．
（ 1 ）请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；
（ 2 ）把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．

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19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．调查发现，每件少盈利1元，商场平均每天可多售出2件衬衫．那么每件衬衫少盈利多少元时，商场平均每天盈利是1250元？

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20. 阅读材料并回答问题：

(1)、方程 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 的根为 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 1$ ， $x_{1} + x_{2} = - 2$ ， $x_{1} x_{2} = 1$ ．方程 $3 x^{2} + 4 x - 7 = 0$ 的根为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - \frac{7}{3}$ ， $x_{1} + x_{2} = - \frac{4}{3}$ ， $x_{1} x_{2} = - \frac{7}{3}$ ．程 $a x^{2} + b x + c = 0 (b^{2} - 4 a c \geq 0)$ 的根为 $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ， $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ， $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ．

(2)、从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是．

(3)、用你发现的规律解答下列问题：
①不解方程，直接计算：方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ▲ ， $x_{1} \cdot x_{2} =$ ▲ ；

②方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ ▲ ．

③已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 3 a = 0$ 的一个根为6，求 $a$ 及方程的另一个根．

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21. 某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款 $y$ 万元， $x$ 个月结清. $y$ 与 $x$ 的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：

(1)、确定 $y$ 与 $x$ 的函数解析式，并求出首付款的数目；

(2)、王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？

(3)、如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？

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22. 如图所示，⊙ $O$ 的半径为1，直线CD经过圆心 $O$ ，交⊙ $O$ 于C、D两点，直径 $A B ⊥ C D$ ，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙ $O$ 于点N，点P是直线CD上另一点，且 $P M = P N$ ．

(1)、当点M在⊙ $O$ 内部，如图一，试判断PN与⊙ $O$ 的关系，并写出证明过程；

(2)、当点M在⊙ $O$ 外部，如图二，其它条件不交时，（1）的结论是否还成立？请说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.

(1)、求二次函数解析式；

(2)、连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形 $POP'C$ .是否存在点P，使四边形 $POP'C$ 为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

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