山西省吕梁市交口县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、3x²+y＝2 B、x²﹣ $\frac{1}{x}$ +1＝0 C、x²﹣5x＝3 D、x﹣3y+1＝0

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2. 如果关于x的方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 有实数根，那么m的取值范围是（）

A、 $m > 9$ B、 $m \geq 9$ C、 $m \leq 9$ D、 $m < 9$

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3. 抛物线 $y = 3 {(x - 3)}^{2} + 4$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 3 ， 4)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(3 ， - 4)$ D、 $(- 4 ， 3)$

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4. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’ ，若AC⊥A’B’ ，则∠BAC等于（）

A、50° B、60° C、70° D、80°

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5. 利用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 时，将方程配方为（x-m）²=n，则 $m$ 、 $n$ 的值分别为（）

A、 $m = 9$ ， $n = 2$ B、 $m = - 3$ ， $n = - 2$ C、 $m = 3$ ， $n = 0$ D、 $m = 3$ ， $n = 2$

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6. 第十四届全国运动会会徽吉祥物发布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的设计方案是以陕西秦岭独有的四种国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型．小明和小彬各从四个吉祥物中选择一个制作成绘画作品，参与学校举办的绘画展，则他们选中“朱朱”和“金金”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{12}$

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7. 某建筑物，从10m高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 $\frac{40}{3}$ m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）

A、2m B、3m C、4m D、5m

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8. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ， BC为直径，BD平分 $∠ A B C$ ，若 $∠ A B C = 40 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、105° B、110° C、115° D、120°

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9. 在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个.若月25日和26日较前一天的增长率均为x，则满足的方程是（　　）

A、5000（1+x）²＝22500 B、5000（1﹣x）²＝22500 C、5000+5000（1+x）+5000（1+x）²＝22500 D、5000（1+x）+5000（1+x）²＝22500

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ .下列结论：① $a b c < 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③ ${(a + c)}^{2} - b^{2} < 0$ ；④ $a + b \leq m (a m + b)$ ( $m$ 为实数).其中结论正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 顶点是（1,3），开口方向、大小与 $y = 2 x^{2}$ 完全相同的抛物线解析式为；

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12. 如图， $∠ B A C = 36 °$ ，点O在边AB上， $⊙ O$ 与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则 $∠ A F D$ 等于．

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13. 袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 $\frac{3}{4}$ ，则这个袋中白球大约有个．

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14. 如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m² ，则修建的路宽应为米．

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15. 已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与一次函数 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (- 1 ， 6)$ 和 $B (7 ， 3)$ ，如图所示，则使不等式 $a x^{2} + b x + c < m x + n$ 成立的 $x$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 解一元二次方程：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ ；（用配方法）

(2)、 $(x + 2)^{2} = 3 x + 6$ ．

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17. 某校为了解七、八年级学对生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理描述和分析部分信息如下：
a．七年级成线频数分布直方图：
b．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
c．七年级成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人，并写出表中m的值；

(2)、在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两名学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

(3)、已知样本中成绩在50－60分的学生，其中有两名女生，若从这6人中随机选2人，求选到的两个人是一男一女的概率．

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18. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 1) x + 2 (m - 1) = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，这个方程总有实数根；

(2)、若等腰 $△ A B C$ 的一边长为6，且恰好是这个方程的一个根，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 $\overset{⌢}{B C}$ 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若DE＝2， CE＝1，求BD的长度.

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20. 阅读下面材料：
张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 $△ A P^{'} C$ ，连接 $P P^{'}$ ，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

(1)、请你计算图1中 $∠ A P B$ 的度数；

(2)、参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形 $A B C D$ 内有一点 $P$ ，且 $P A = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = 1$ ， $P D = \sqrt{17}$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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21. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．

(1)、这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．

(2)、2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？

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22. 综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足 $∠ E A F = 45 °$ ，连接EF，求证： $D E + B F = E F$ ．
李伟同学是这样解决的：
将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转90°得到 $△ A B G$ ，此时AB与AD重合，再证明 $△ G A F ≌ △ E A F$ ，可得结论．

(1)、如图2，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C (A D > B C)$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A D = C D = 10$ ，且 $∠ B A E = 45 °$ ， $D E = 4$ ，求BE的长；

(2)、类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点， $∠ B A C = ∠ A G F = 90 °$ ，若 $△ A B C$ 固定不动， $△ A F G$ 绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式 $B D^{2} + C E^{2} = D E^{2}$ 始终成立，请说明理由．

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23. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0 ， - \frac{7}{4})$ ，点 $B (1 ， \frac{1}{4})$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的最大值和最小值；

(3)、点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作 $P Q ∥ x$ 轴，点Q的横坐标为 $- 2 m + 1$ ．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；

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年级	平均数	中位数
七	76.9	m
八	79.2	79.5