山西省临汾市古县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式中，是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{n^{2}}$ B、 $\sqrt{- 4}$ C、 $\sqrt[3]{8}$ D、 $\sqrt{3 - π}$

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2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - k x + 2 = 0$ 中， $k$ 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该方程有两个不相等的实数根的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（）

A、 B、 C、 D、

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4. 用配方法将二次函数y=x²﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）²+k的形式为（）

A、y=（x﹣4）²+7 B、y=（x+4）²+7 C、y=（x﹣4）²﹣25 D、y=（x+4）²﹣25

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5. 在求解一元二次方程﹣2x²+4x+1＝0的两个根x₁和x₂时，某同学使用电脑软件绘制了如图所示的二次函数y＝﹣2x²+4x+1的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，该同学得出﹣1＜x₁＜0，2＜x₂＜3的结论，该同学采用的方法体现的数学思想是（）

A、类比 B、演绎 C、数形结合 D、公理化

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6. 如图，在长方形ABCD中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ，点E在AB上，点F在BC上．若 $A E = 2$ ， $C F = 1$ ，则 $s i n (∠ 1 + ∠ 2) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，连接 $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $A$ 作 $A D / / O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ．若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ O C D$ 为（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是边AB、AC上的点，且 $D E ∥ B C$ ，连接CD，过点E作 $E F ∥ C D$ ，交AB于点F，则下列比例式不成立的是（）

A、 $\frac{A F}{A D} = \frac{A D}{A B}$ B、 $\frac{E F}{C D} = \frac{D E}{B C}$ C、 $\frac{A F}{F D} = \frac{A D}{B D}$ D、 $\frac{A F}{F D} = \frac{E F}{B C}$

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9. 如图， $⊙ A$ 经过平面直角坐标系的原点O ，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $D$ 在抛物线上，且 $C D / / A B$ . $A D$ 与 $y$ 轴相交于点 $E$ ，过点 $E$ 的直线 $M N$ 平行于 $x$ 轴，与抛物线相交于 $M$ ， $N$ 两点，则线段 $M N$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 计算 $\sqrt{20} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}}$ 的结果．

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12. 若 $α$ ， β均为锐角，且|sin $α$ ﹣ $\frac{1}{2}$ |+（ $\sqrt{3}$ ﹣tanβ）²＝0，则 $α$ +β＝．

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13. 已知⊙ $O_{1}$ 与⊙ $O_{2}$ 的半径分别是方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两根，且 $O_{1} O_{2} = t + 2$ ，若这两个圆相切，则 $t$ ＝．

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14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为 $y = - \frac{1}{12} {(x - 4)}^{2} + 3$ ，由此可知铅球推出的距离是m.

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15. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $\sqrt{3} \times (\sqrt{2} - 2) + (- \frac{1}{2})^{- 2} + 4 s i n 60 ° - \sqrt{24}$ ；

(2)、解方程： $(x - 2) (x + 3) - 3 x = 4$ ．

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17. 如图，已知在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (0 ， 2)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ ， $C (- 2 ， - 4)$ ．

(1)、将 $Δ A B C$ 向右平移4个单位长度后得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于 $x$ 轴对称的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、连接 $O A_{2}$ ，求 $s i n ∠ O A_{2} C_{2}$ 的值．

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18. 2020年5月13日，共青团中央维护青少年权益部、中国互联网络信息中心（CNNIC）联合发布《2019年全国未成年人互联网使用情况研究报告》．下面是根据此报告得到的统计图．

(1)、由统计图可知未成年网民中工作日玩手机游戏的日均时长超过2小时的约占%．

(2)、小文根据报告整理了“初中生上网经常从事各类活动的百分比及排行榜（前五）”，如下表．
项目
网上学习
听音乐
聊天
玩游戏
搜索信息
百分比
92.4%
77.1%
73.1%
64.7%
55.8%
小文发现，这些活动所占百分比之和远远超过100%，请你解释其中的原因．

(3)、小文关注了“人民日报”“共青团中央”“新华社”“中科院之声”4个微信公众号（依次记为A，B，C，D）．他每天早晨会从这4个公众号中随机选择一个，浏览最新信息．求小文连续两天浏览同一个公众号的概率．

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19. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长.

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20. 阅读下列材料，并完成相应任务．
黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”．历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆.19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．用下面的方法（如图（1））就可以作出已知线段AB的黄金分割点H；
①以线段AB为边作正方形ABCD；
②取AD的中点E，连接EB；
③延长DA到点F，使 $E F = E B$ ；
④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．
以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则 $A B = A D = 1$ ．
∵点E为AD的中点，∴ $A E = \frac{1}{2}$ ．
在 $R t △ B A E$ 中， $B E = \sqrt{A B^{2} + A E^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ， ∴ $E F = B E = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，
∴ $A F = E F - A E = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ． ……
任务：

(1)、补全题中的证明过程．

(2)、如图（2），点C为线段AB的黄金分割点（ $A C > B C$ ），分别以AC，BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连线BD，BE．求证： $△ E A B ∽ △ B C D$ ．

(3)、如图（3），在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N．求证：点M是AD的黄金分割点．

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21. 垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，今年5月，太原市20个小区实施“撤桶并站、定时定点、分类投放，桶边督导”，掀起了垃圾分类的新风尚．某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套．

(1)、该超市定制了这款垃圾桶多少套？

(2)、超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？．

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22. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，D，E，F是切点．

(1)、求证：四边形ODCE是正方形；

(2)、如果 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，求内切圆 $⊙ O$ 的半径．

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23. 下图是二次函数 $y = (x + m)^{2} + k$ 的图象，其顶点坐标为 $M (1 ， - 4)$ ．

(1)、求出图象与 $x$ 轴的交点 $A$ ， $B$ 的坐标；

(2)、在二次函数的图象上是否存在点 $P$ ，使 $S_{△ P A B} = \frac{5}{4} S_{△ M A B}$ ？若存在，求出 $P$ 点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、将二次函数的图象在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 $y = x + b (b < 1)$ 与此图象有两个公共点时， $b$ 的取值范围．

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项目	网上学习	听音乐	聊天	玩游戏	搜索信息
百分比	92.4%	77.1%	73.1%	64.7%	55.8%