浙江省精诚联盟2022-2023学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

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3. 过点 $P (- 1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与连接 $A (3 ， 3) ， B (- 2 ， 6)$ 的线段总有公共点（不包含端点），则直线 $l$ 的斜率的取值范围是（）

A、 $(- 5 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， - 5) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{5} ， 2)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{5}) \cup (2 ， + \infty)$

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4. 下列四个正方体图形中， $A ， B ， M ， N ， P$ 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出 $A B$ $/ /$ 平面 $M N P$ 的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 一条光线从点 $P (- 1 ， 5)$ 射出，经直线 $x - 3 y + 1 = 0$ 反射后经过点 $(2 ， 3)$ ，则反射光线所在直线的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $3 x - y - 3 = 0$ C、 $x - 2 = 0$ D、 $4 x - y - 5 = 0$

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6. 在正四面体 $O - A B C$ 中， $M ， N$ 分别为 $O C$ 和 $A B$ 的中点，则异面直线 $A M$ 与 $C N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 已知圆 $O$ 经过三点 $A (0 ， 1) ， B (- 3 ， 2) ， C (1 ， 4)$ ，则点 $P (m ， 2 m - 5)$ 到圆 $O$ 上任意一点的距离的最小值是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} - 5$ D、 $3 \sqrt{5}$

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8. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧面 $P A D$ 是等腰直角三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， A D = 2 ， A B = A P = \sqrt{2}$ ，当棱 $P C$ 上一动点 $M$ 到直线 $B D$ 的距离最小时，过 $A ， D ， M$ 做截面交 $P B$ 于点 $N$ ，则四棱锥 $P - A D M N$ 的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{27}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{10 \sqrt{2}}{27}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{16}$

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二、多选题

9. 已知圆 $M$ 的一般方程为 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $M$ 的圆心为 $(3 ， 4)$ B、圆 $M$ 的半径为5 C、点 $(- 6 ， - 8)$ 不在圆 $M$ 上 D、圆 $M$ 关于 $x - y - 1 = 0$ 对称

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10. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 0 ， 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{c} = (- 8 ， 5 ， 6)$ 与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 垂直 B、向量 $\vec{d} = (1 ， - 4 ， - 2)$ 与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 共面 C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 分别是异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方向向量，则其所成的角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(6 ， 0 ， 8)$

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11. 如图所示，边长为 $2$ 的等边 $△ O A B$ 从起始位置（ $O A_{1}$ 与 $y$ 轴重合）绕着 $O$ 点顺时针旋转至 $O B$ 与 $x$ 轴重合得到 $△ O A_{2} B_{2}$ ，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）

A、边 $A B$ 所在直线的斜率的取值范围是 $[- \sqrt{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、边 $A B$ 所在直线在 $y$ 轴上截距的取值范围是 $[2 ， 4]$ C、边 $A_{1} B_{1}$ 与边 $A_{2} B_{2}$ 所在直线的交点为 $(3 - \sqrt{3} ， 3 - \sqrt{3})$ D、当 $A B$ 的中垂线为 $x - y = 0$ 时， $k_{O B} = 2 - \sqrt{3}$

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12. 已知 $P$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，过点 $P$ 的直线 $l$ 与该正方体的表面交于 $E$ 、 $F$ 两点，下列叙述正确的有（）

A、点 $E$ 、 $F$ 到正方体 $6$ 个表面的距离分别为 $e_{i}$ 、 $f_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots ， 6)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} (e_{i} + f_{i})$ 为定值 B、线段 $E F$ 在正方体 $6$ 个表面的投影长度为 $t_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots ， 6)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} t_{i}$ 为定值 C、正方体 $8$ 个顶点到直线 $l$ 的距离分别为 $d_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots ， 8)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{8} d_{i}$ 为定值 D、直线 $l$ 与正方体 $12$ 条棱所成的夹角的 $α_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots ， 12)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{12} c o s^{2} α_{i}$ 为定值

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3} ， 2) ， \vec{b} = (x ， - \sqrt{3} ， 1)$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 已知直线 $l_{1} ： 3 x + 4 y - 5 = 0 ， l_{2} ： 6 x + 8 y + 5 = 0$ 则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离 $d =$ .

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15. 点 $(2 ， 2)$ 到直线 $(2 a + b) x + (a + b) y - (3 a + 2 b) = 0$ 的距离最大时， $a =$ .

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16. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} P B = 4 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $A E$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $M$ 在平面 $A B C$ 上，且满足 $\vec{M E} \cdot \vec{M F} = - 3$ ， $N$ 在 $△ A B C$ 的边界上运动，则直线 $P M$ 与 $P N$ 所成角的余弦值的取值范围是.

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四、解答题

17. 求满足下列条件的直线 $l$ 的一般式方程：

(1)、经过直线 $l_{1} ： 2 x - y + 9 = 0 ， l_{2} ： 3 x + 2 y - 4 = 0$ 的交点 $P$ ，且经过点 $(2 ， 3)$ ；

(2)、与直线 $l_{3} ： 3 x - y = 0$ 垂直，且点 $Q (2 ， - 5)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{10}$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A C = B C = \sqrt{2} B B_{1}$ ，点 $E ， D$ 分别是 $A B ， A C$ 的中点，求证：

(1)、 $A C_{1}$ $∥$ 平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} D E$ .

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19. 已知动点 $M$ 与两个定点 $O (0 ， 0) ， A (3 ， 0)$ 的距离的比为2.

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)、已知 $A (0 ， 1) ， B (0 ， - 1)$ ，求 $M A^{2} + M B^{2}$ 的最大值.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A (- 1 ， - 3) ， ∠ B ， ∠ C$ 的平分线所在的直线方程分别是 $l_{1} ： y + 1 = 0 ， l_{2} ： x + y + 1 = 0$ .

(1)、求边 $B C$ 所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的内切圆的方程.

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥ A C ， A B = B C$ .

(1)、求证： $P A = P C$ ；

(2)、若 $P A = A B = A C ， P A$ 与面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求二面角 $P - A C - B$ 大小.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P B C$ ，平面 $A B P ⊥$ 平面 $P B C ， A B ∥ D C ， B C = D C = 2 A B = 2$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $A D P$ 与平面 $P B C$ 的夹角 $\frac{π}{4}$ ，求 $| P A | + | P D |$ 的最小值.

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