辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 经过点 $A (2 ， - 1)$ 和点 $B (1 ， - 4)$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- 5$ B、 $5$ C、 $- 3$ D、 $3$

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2. 已知直线l的一个方向向量为 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 5)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{b} = (1 ， x ， - 1)$ ，若 $l ∥ α$ ，则 $x =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 直线 $4 x - 3 y + 7 = 0$ 与直线 $4 x - 3 y - 8 = 0$ 间的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面， $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$

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5. 已知某圆锥的底面圆半径为 $5$ ，它的高与母线长的和为 $25$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $15 π$ B、 $20 π$ C、 $60 π$ D、 $65 π$

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6. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形，M，N分别为棱 $B C$ ， $P D$ 上的点， $C M = \frac{1}{2} B M$ ， N是 $P D$ 的中点，向量 $\vec{M N} = - \vec{A B} + x \vec{A D} + y \vec{A P}$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{1}{2}$ C、 $x = - \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{2}$ D、 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = - \frac{1}{2}$

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7. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = 60 °$ ， $c o s ∠ D A A_{1} = - \frac{1}{4}$ ，则 $B D_{1}$ 的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{21}$ D、5

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8. 已知 $E F$ 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则 $\vec{M E} \cdot \vec{M F}$ 的最小值为（）

A、 $- 48$ B、 $- 32$ C、 $- 16$ D、0

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二、多选题

9. 已知 $c o s α - c o s (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ，则 $α$ 的可能取值为（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 4) ， \vec{b} = (4 ， 3) ， \vec{c} = (- 4 ， - 3)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $| \vec{c} | = 25$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、异面直线 $B D$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为 $4 5^{°}$ B、异面直线 $B D$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为 $6 0^{°}$ C、二面角 $A - B_{1} C - C_{1}$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、二面角 $A - B_{1} C - C_{1}$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2$ ， $N$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，点 $M$ 在线段 $B C$ 上运动（包含端点），下列说法正确的是（）

A、当点 $M$ 与点 $B$ 重合时，三棱锥 $C_{1} - A_{1} M N$ 的体积最大 B、线段 $B C$ 上存在唯一一点 $M$ ，使得 $△ A M N$ 为直角三角形 C、 $\vec{M A} \cdot \vec{M C_{1}}$ 有最小值，且最小值为 $- \frac{1}{4}$ D、设直线 $N M$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $s i n θ$ 的取值范围是 $[0 ， \frac{\sqrt{15}}{5}]$

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三、填空题

13. 若直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与直线 $x + m y + n = 0$ 关于 $x$ 轴对称，则 $m n =$ .

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14. 已知 $α ， β \in (0 ， π) ， c o s α = \frac{3 \sqrt{10}}{10} ， t a n (α - β) = 2$ ，则 $β =$ .

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15. 已知 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 1)$ ，则以 $A B$ ， $A C$ 为邻边的平行四边形的面积是.

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16. 如图，圆锥的母线长是4，底面圆半径是2，S为顶点，O为底面中心，M为线段 $S O$ 上的一点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若 $A M ⊥ M P$ ，点P运动形成的轨迹长度为 $\sqrt{15}$ ，则 $A M =$ .

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + y - 5 = 0 ， l_{2} ： x - 2 y = 0$ .

(1)、求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(- 1 ， - 1)$ ，且与直线 $l_{1}$ 平行，设 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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18. 已知正方形 $A B C D$ 的中心为坐标原点，点 $A$ 的坐标为（2，1），点 $B$ 在第四象限.

(1)、求正方形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求直线 $A B$ 和 $B C$ 的方程.

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19. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的所有棱长均为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $P A$ ， $B C$ 的中点，点 $N$ 在 $E F$ 上，且 $E N = 3 N F$ ，设 $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{P C} = \vec{c}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{P N}$ ；

(2)、求 $P N$ 与 $E B$ 夹角的余弦值.

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G，H分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $A B G H$ .

(2)、若正方体的棱长为1，求点 $D_{1}$ 到平面 $B_{1} E F$ 的距离.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C / / A D$ ， $A D ⊥ A B$ ，过 $A D$ 的平面与 $P C$ ， $P B$ 分别交于点 $M ， N$ ，连接 $M N$ ， $A N$ ， $M D$ .

(1)、证明： $B C / / M N$ .

(2)、若 $P A = A B = 2 B C = 2$ ， $A D = 3$ ，平面 $A D M N ⊥$ 平面 $P B C$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $M B D$ 夹角的余弦值.

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22. 如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O， $O_{1}$ ，矩形 $A B C D$ 为该圆柱的轴截面， $A B = 2 A D$ ，点E在底面圆周上，点G为 $A D$ 的中点.

(1)、若 $∠ E O_{1} A = \frac{π}{3}$ ，试问线段 $E D$ 上是否存在点F，使得 $A F ⊥ O_{1} G$ ?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $O D E$ 夹角的正弦值的最大值.

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