江西省重点校2022-2023学年高二上学期数学10月统一调研试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 倾斜角为120°的直线经过点 $(a + 1 ， 3)$ 和 $(2 a - 2 ， 3 a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $- 3$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上的一点到两个焦点的距离之和为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、4 C、6 D、18

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3. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{13} = 1$ 上的点 $P$ 到左焦点的距离为 $10$ ，则 $P$ 到右焦点的距离为（）

A、 $2$ B、 $22$ C、 $2$ 或 $22$ D、 $12$

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4. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 与圆 $(x - a)^{2} + (y + 3)^{2} = 9$ 恰有两条公切线．则a的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 6)$ B、 $(- 4 ， 4)$ C、 $(- 5 ， 5)$ D、 $(- 6 ， 6)$

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5. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x + y - 2 = 0$ ，则（）

A、直线l的倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ B、直线l的斜率为 $\sqrt{3}$ C、直线l的一个法向量为 $\vec{u} = (1 ， \sqrt{3})$ D、直线l的一个方向向量为 $\vec{v} = (- \sqrt{3} ， 3)$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P是右支上一点，且 $| P F_{1} | = 6 | P F_{2} |$ ，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{7}{5}]$ B、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ C、 $(1 ， \frac{7}{5}]$ D、 $[\frac{7}{5} ， + \infty)$

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7. 如图，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点M与C的焦点不重合，点M关于 $F_{1} ， F_{2}$ 的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在C的右支上．若 $| A N | - | B N | = 18$ ，则C的实轴长为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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8. 台风中心从 $M$ 地以每小时 $30 k m$ 的速度向西北方向移动，离台风中心 $30 \sqrt{3} k m$ 内的地区为危险地区，城市 $N$ 在 $M$ 地正西方向 $60 k m$ 处，则城市 $N$ 处于危险区内的时长为（）

A、 $1 h$ B、 $\sqrt{2} h$ C、 $2 h$ D、 $3 h$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{6} = 1$ ，则下列各选项正确的是（）

A、双曲线C的焦点坐标为 $(0 ， ± 2)$ B、双曲线C的渐近线方程为 $y = ± \frac{\sqrt{6}}{3} x$ C、双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、双曲线C的虚轴长为4

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10. 设直线 $l ： a x + (2 a + 3) y - 3 = 0$ 与 $n ： (a - 2) x + a y - 1 = 0$ ，则（）

A、当 $a = - 2$ 时， $l / / n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、当 $l / / n$ 时，l、n间的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、坐标原点到直线n的距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 若关于x的方程 $x + \sqrt{1 - x^{2}} - b = 0$ 有唯一解，则b的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O到圆锥顶点的距离为4，关于所得截口曲线，下列选项正确的是（）

A、曲线形状为圆 B、曲线形状为椭圆 C、点O为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点 D、该曲线上任意两点间的最长距离为6

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三、填空题

13. 古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ ，则该椭圆的面积为．

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14. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点作一条直线，当直线的斜率为 $- 1$ 时，直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，当直线的斜率为 $- \sqrt{3}$ 时，直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则双曲线的离心率可以为．

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15. 已知圆 $C ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，则直线 $l ： a x + y + 2 a - 1 = 0$ 被圆C截得的弦长的最小值为．

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16. 一条沿直线传播的光线经过点 $P (- 3 ， 7)$ 和 $Q (- 2 ， 5)$ ，然后被直线 $y = x - 2$ 反射，则入射点的坐标为，反射光线所在直线在y轴上的截距为

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (3 ， - 4)$ ， AB边上的中线所在直线的方程为 $x - 2 y + 4 = 0$ ， AC边上的高所在直线的方程为 $x - y + 2 = 0$ ．

(1)、求C的坐标；

(2)、求直线BC的方程．

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18. 曲线 $C$ 上任意一点到点 $M (- 3 ， 4)$ 的距离与到点 $N (- 2 ， 1)$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、试问曲线 $C$ 为何种曲线，说明你的理由；

(2)、过直线 $l ： x + y - 5 = 0$ 上一点 $E$ 向曲线 $C$ 作一条切线，切点为 $F$ ，求 $| E F |$ 的最小值．

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19. 已知圆心为 $M$ 的圆经过 $A (- 2 ， 6) ， B (6 ， 0) ， C (- 8 ， - 2)$ 这三个点．

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (4 ， 6)$ ，若直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长为10，求直线 $l$ 的方程．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $A B$ 的中点坐标为 $(- \frac{12}{7} ， \frac{4}{7})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求 $△ A F_{2} B$ 的面积．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 4} = 1 (a > 2)$ 过点 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4})$ ． $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左右焦点， $P$ 为第一象限内椭圆 $C$ 上的动点，直线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 与直线 $x = t (t > 0)$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点，记 $△ P A B$ 和 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、试确定实数 $t$ 的值，使得点 $P$ 到 $F_{2}$ 的距离与到直线 $x = t$ 的距离之比为定值 $k$ ，并求出 $k$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{25}{9}$ ，求 $\frac{| P A | \cdot | P F_{1} |}{| P B | \cdot | P F_{2} |}$ 的值．

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22. 已知从曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，实轴长为 $2 \sqrt{3}$ 、一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x - 3 y = 0$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知 $P (- \sqrt{5} ， 0)$ ，若 $△ A B P$ 的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．

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