湖南省长沙市八校联考2022-2023学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 6$ 的零点的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 四个函数：① $y = x \sin x$ ；② $y = x \cos x$ ；③ $y = x | \cos x |$ ；④ $y = x \cdot 2^{x}$ 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A、④①②③ B、①④②③ C、③④②① D、①④③②

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3. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 2 b s i n A$ ，则 $c o s A + s i n C$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$ D、 $(\frac{3}{2} ， \sqrt{3})$

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4. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，据说阿基米德对这个图最引以为自豪，则该圆柱的体积与球的体积之比为（）

A、 $2 ： 1$ B、 $\sqrt{5} ： 2$ C、 $3 ： 2$ D、 $4 ： 3$

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5. 已知函数 $f (x) = m^{2} x^{2} - 2 m x - \sqrt{x} + 1 - m$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上有且只有一个零点，则正实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1] \cup [2 \sqrt{3} ， + ∞)$ B、 $(0 ， \sqrt{2}] \cup [3 ， + ∞)$ C、 $[0 ， \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{3} ， + ∞)$ D、 $(0 ， 1] \cup [3 ， + ∞)$

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6. 已知 $O$ 为正三角形 $A B C$ 内一点，且满足 $\vec{O A} + λ \vec{O B} + (1 + λ) \vec{O C} = \vec{0}$ ，若 $△ O A B$ 的面积与 $△ O A C$ 的面积之比为3，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. $△ A B C$ 三边 $a ， b ， c$ ，满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a$ ，则三角形 $A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、直角三角形

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8. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ ，则 $\frac{x y - x}{2 x^{2} + {(y - 1)}^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{6}{17}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{25}{12}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l g (- x) ， x < 0 \\ e^{x - 1} ， x ⩾ 0 \end{array}$ ，若 $2 f (1) + f (a) = 3$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、1 B、 $- 1$ C、10 D、 $- 10$

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10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $| O A | = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O H} = - \sqrt{2} \vec{O E}$ C、 $\vec{A H} \cdot \vec{O H} = \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ D、 $\vec{A H}$ 在 $\vec{A B}$ 向量上的投影为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 定义 $2 \times 2$ 行列式 $| \begin{array}{l} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{array} | = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$ ，若函数 $f (x) = | \begin{array}{l} c o s^{2} x - s i n^{2} x & \sqrt{3} \\ c o s (\frac{π}{2} + 2 x) & 1 \end{array} |$ ，则下列表述错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， 0]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 是最小正周期为 $π$ 的奇函数

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12. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $P C$ 、 $A C$ 、 $A B$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $A B = P A = 6$ ， $B C = 8$ ，则（）

A、点 $P$ 与点 $B$ 到平面 $D E F$ 的距离相等 B、直线 $P B$ 与直线 $D F$ 垂直 C、三棱锥 $D - B E F$ 的体积为18 D、平面 $D E F$ 截三棱锥 $P - A B C$ 所得的截面面积为12

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三、填空题

13. 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为．

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14. 函数 $y = s i n x + c o s x + 2 s i n x c o s x + 2$ 的值域是.

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15. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $2 a + b = 1$ ，若不等式 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq m$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值是.

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16. 如图，在棱长为2的正方体中 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $M$ 是 $A D$ 的中点，动点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内（包括边界），若 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B M$ ，则 $C_{1} P$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x - 6 \leq 0}$ ，集合 $B = {x ∣ 6 x^{2} - 5 x + 1 > 0}$ ，集合 $C = {x ∣ \frac{x - m}{x - m - 9} \leq 0}$ .

(1)、求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∪ C = C$ ，求实数 $m$ 的值取范围.

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18. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} \cdot a = 2 b \cdot s i n A$
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若 $b = 6$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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19. 设函数 $f (x) = 4 c o s (ω x - \frac{π}{6}) s i n ω x - c o s (2 ω x + π)$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的值域；

(2)、若 $ω = 1$ ，讨论 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上为增函数，求 $ω$ 的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 (a - 2) x + 1$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若对任意实数 $x_{1} ， x_{2} \in [2 ， 4]$ ，恒有 $f (x_{1}) ⩾ 9 s i n 2 x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数 $x_{0}$ ，使得 $a x_{0} < 0$ 且 $f (x_{0}) = | 2 x_{0} - a | + 2$ ？若存在，则求 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在，则加以证明.

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21. 如图，在平面四边形ABCD中， $A D = B D ， ∠ A D B = 9 0^{∘} ， C D = 2 \sqrt{2} ， B C = 2$ .

(1)、若 $∠ B D C = 4 5^{∘}$ ，求线段AC的长：

(2)、求线段AC长的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = | x | (x - 2 a)$ ， $g (x) = | a x - b |$ ，其中 $a < 0$ ， $b > 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 恰好存在三个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = - 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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