湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (2 + i) + i = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} i$

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2. 已知 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 5$ ，设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{5}{6} \vec{a}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6} \vec{a}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{a}$ D、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{6} \vec{a}$

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x + 2$ ，直线 $l_{2}$ 是直线 $l_{1}$ 绕点 $P (- 2 ， 1)$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到的直线，则直线 $l_{2}$ 的方程是（）

A、 $y = x + 3$ B、 $y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}$ C、 $y = - 3 x + 7$ D、 $y = 3 x + 7$

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4. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即 $∠ A B C$ ）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即 $∠ A D C$ ）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）

A、 $(2 - \sqrt{3}) a$ B、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{4} a$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} a$ D、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{4} a$

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5. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本）
5
6
7
8
9
10
频数（单位：人）
5
8
13
11
9
4
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（）

A、8 B、8.5 C、9 D、10

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，棱长为2，E为棱 $B B_{1}$ 的中点，则经过 $A_{1}$ ， D，E三点的正方体的截面面积为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{21}{2}$

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7. 已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (- 2 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，若 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，则下列关于动点P的结论正确的个数是（）
①点P的轨迹所包围的图形的面积等于 $16 π$
②当P、A、B不共线时， $△ P A B$ 面积的最大值是6
③当A、B、P三点不共线时，射线 $P O$ 是 $∠ A P B$ 的平分线
④若点 $Q (- 3 ， 1)$ ，则 $2 | P A | + | P Q |$ 的最小值为 $5 \sqrt{2}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，棱长为2的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $B_{1} D_{1}$ 上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 中，点P到面 $A_{1} B D$ 的距离为定值 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、过点P平行于面 $A_{1} B D$ 的平面被正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截得的多边形的面积为 $3 \sqrt{3}$ C、当点P为 $B_{1} D_{1}$ 中点时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球体积为 $\frac{11 \sqrt{11} π}{3}$ D、直线 $P A_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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二、多选题

9. 设 $z$ 是复数，则下列命题中是真命题的是（）

A、若 $z^{2} \geq 0$ ，则 $z$ 不一定是实数 B、若 $z^{2} < 0$ ，则 $z$ 是虚数 C、若 $z$ 是虚数，则 $z^{2} \geq 0$ D、若 $z$ 是纯虚数，则 $z^{2} < 0$

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10. 已知一组不全相等的数据 $x_{1} ， x_{2} ⋯ x_{n}$ 的平均数为 $x_{0}$ ，若在这组数据中添加一个数据 $x_{0}$ ，得到一组新数据 $x_{0} ， x_{1} ， x_{2} ⋯ x_{n}$ ，则（）

A、这两组数据的平均数相同 B、这两组数据的中位数相同 C、这两组数据的极差相同 D、这两组数据的标准差相同

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11. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 1 ， A C = 4 ， B C = \sqrt{13}$ ， D在 $B C$ 上， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，E为 $A C$ 中点，下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ B、 $B E = \sqrt{3}$ C、 $s i n ∠ A C B = \frac{\sqrt{26}}{26}$ D、 $A D = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$

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12. 在圆锥 $S O$ 中，C是母线 $S A$ 上靠近点S的三等分点， $S A = l$ ，底面圆的半径为r，圆锥 $S O$ 的侧面积为 $12 π$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 3$ 时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 $3 \sqrt{7}$ B、当 $l = 6$ 时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为 $2 \sqrt{13}$ C、当 $l = 6$ 时，圆锥 $S O$ 的外接球表面积为 $\frac{81 π}{2}$ D、当 $l = 6$ 时，棱长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， y ， 1) ， \vec{c} = (2 ， - 4 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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14. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 $\frac{1}{2}$ ，丙购买到冰墩墩的概率为 $\frac{1}{5}$ ，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为．

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15. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭 $A B C D - E F H G$ ，其中上底面与下底面的面积之比为 $1 ： 4$ ， $B F = \frac{\sqrt{6}}{2} E F$ ，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为 $12 \sqrt{5}$ ，则方亭的体积为.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $| A C | = 2 | B C | = 6 ， ∠ A C B$ 为钝角，M，N是边 $A B$ 上的两个动点，且 $| M N | = 1$ ，若 $\vec{C M} \cdot \vec{C N}$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ ，则 $c o s ∠ A C B =$ ．

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四、解答题

17. 设 $A (0 ， 1) ， B (- 1 ， 0) ， C (1 ， 0) ， D (1 ， 1)$ ，过点D作直线l，设直线l的斜率为k．

(1)、当点B到直线l的距离最远时，写出直线l的方程；

(2)、若直线l分别交线段 $A B$ 和线段 $A C$ 于P、Q（两点不重合），求实数k的取值范围．

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18. 2021年开始，湖北省推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用“ $3 + 1 + 2$ ”模式其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史2门科目中选一科，然后在思想政治、地理、化学、生物4门科目中自选2门参加考试．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以20为组距分成7组： $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200)$ ， $[200 ， 220)$ ， $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300]$ ，画出频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中a的值以及物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

(2)、为了进一步了解选科情况，在物理、化学、生物三科总分成绩在 $[240 ， 260)$ 和 $[260 ， 280)$ 的两组中用按比例分配的分层随机抽样方法抽取了5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

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19. 斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面为边长是4cm的正三角形，侧棱长为3cm，侧棱 $A A_{1}$ 与底面相邻两边都成60°角．

(1)、求证：侧面 $C C_{1} B_{1} B$ 是矩形；

(2)、求这个棱柱的侧面积．

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20. 如图，已知 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且 $B P = \frac{1}{4} B C$ ，点Q为线段AP上一点.

(1)、若 $\vec{A Q} = λ \vec{A B} + \frac{1}{12} \vec{A C}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、求 $\vec{Q A}$ · $\vec{Q C}$ 的最小值.

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21. 如图，经过村庄A有两条夹角为 $60 °$ 的公路 $A B ， A C$ ，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求 $P M = P N = M N = 3 k m$ ．

(1)、当 $∠ A M N = 30 °$ 时，求线段 $A P$ 的长度；

(2)、问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）

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22. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ A D C = 90 ° ， A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F ∥ C D$ ， $B C = C D = A E = E F = \frac{1}{2} A D = 1$ ．

(1)、求证： $B E ⊥ A F$ ；

(2)、在线段 $B C$ 上是否存在点M，使二面角 $E - M D - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ？若存在，求出 $C M$ 的长；若不存在，请说明理由．

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借书数量（单位：本）	5	6	7	8	9	10
频数（单位：人）	5	8	13	11	9	4