湖北省十堰市六校协作体2022-2023学年高二上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则 $\vec{A B} + \frac{1}{2} (\vec{B D} + \vec{B C})$ 等于（）

A、 $\vec{A G}$ B、 $\vec{C G}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{B C}$

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2. 如图， $B C = 4$ ，原点 $O$ 是 $B C$ 的中点，点 $A (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2} ， 0)$ ，点 $D$ 在平面 $y O z$ 上，且 $∠ B D C = 9 0^{°} ， ∠ D C B = 3 0^{°}$ ，则 $A D$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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3. 若直线l的方向向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ，平面 $β$ 的法向量 $\vec{n} = (1 ， 1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $l \subset β$ B、 $l ⊥ β$ C、 $l / / β$ D、 $l \subset β$ 或 $l / / β$

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4. 若向量 $\vec{a} = (1 ， λ ， 0)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 2)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $λ$ 等于（）

A、0 B、－ $\frac{4}{3}$ C、0或－ $\frac{4}{3}$ D、0或 $\frac{4}{3}$

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5. 若平面 $α$ 的法向量为 $\vec{μ}$ ，直线l的方向向量为 $\vec{v}$ ，直线l与平面 $α$ 的夹角为 $θ$ ，则下列关系式成立的是（）

A、 $c o s θ = \frac{\vec{μ} \cdot \vec{v}}{| \vec{μ} | | \vec{v} |}$ B、 $c o s θ = \frac{| \vec{μ} \cdot \vec{v} |}{| \vec{μ} | | \vec{v} |}$ C、 $s i n θ = \frac{\vec{μ} \cdot \vec{v}}{| \vec{μ} | | \vec{v} ∣}$ D、 $s i n θ = \frac{| \vec{μ} \cdot \vec{v} |}{| \vec{μ} | | \vec{v} |}$

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6. 若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是一个平行四边形， $P A ⊥$ 底面ABCD ， $\vec{A B} = (2 ， - 1 ， - 4)$ ， $\vec{A D} = (4 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ．则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为（）

A、8 B、48 C、32 D、16

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8. .四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ，且 $A B = B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ 且 $P A = 2$ ，则 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 下面四个结论正确的是（）

A、空间向量 $\vec{a} ， \vec{b} (\vec{a} \neq \vec{0} ， \vec{b} \neq \vec{0})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若空间四个点 $P ， A ， B ， C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A ， B ， C$ 三点共线 C、已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， x) ， \vec{b} = (- 3 ， x ， 9)$ ，若 $x < \frac{3}{10}$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ 为钝角 D、任意向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱 $C C_{1}$ 上不与 $C_{1}$ ， C重合的任意一点，则能作为直线 $A A_{1}$ 的方向向量的是（）

A、 $\vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{C_{1} E}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{A_{1} A}$

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11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是DD₁ ， DB的中点，则下列选项中正确的是（　　）

A、EF $/ /$ 平面ABC₁D₁ B、EF⊥B₁C C、EF与AD₁所成角为60° D、EF与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = λ \vec{B C}$ ， $λ \in (0 ， 1)$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $E F ∥ A_{1} C_{1}$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，异面直线 $B_{1} E$ 与 $A_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ C、三棱锥 $B_{1} - B E F$ 的体积的最大值为1 D、不论 $λ$ 取何值，都有 $A_{1} F ⊥ C_{1} E$

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三、填空题

13. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2 ， - 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (t ， - 4 ， t + 1)$ ，且 $l / /$ 平面 $α$ ，则 $t =$ .

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14. 二面角 $α - l - β$ 为 $6 0^{∘}$ ， $A ， B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C ， B D$ 分别在半平面 $α ， β$ 内， $A C ⊥ l ， B D ⊥ l ， A B = A C = a ， B D = 2 a$ ，则 $C D$ 长为

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15. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = a ， A A_{1} = 2 a$ ，则点 $D_{1}$ 到直线 $A C$ 的距离为．

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16. 已知 $A (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 0 ， - 1)$ ．设D在直线AB上，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，设 $C (λ ， \frac{1}{3} + λ ， 1 + λ)$ ，若 $C D ⊥ A B$ ，则实数 $λ =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (x, 4, 1), \vec{b} = (- 2, y, - 1), \vec{c} = (3, - 2, z), \vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，求：

(1)、 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ；

(2)、 $(\vec{a} + \vec{c})$ 与 $(\vec{b} + \vec{c})$ 所成角的余弦值.

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18. 如图，矩形 $A D E F$ 与梯形 $A B C D$ 所在的平面互相垂直， $A D ⊥ C D$ ， $A B / / C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $C D = 4$ ， $M$ 为 $C E$ 的中点．

(1)、求证： $B M / /$ 平面 $A D E F$ ；

(2)、求证： $B C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C E$ ， $C D ⊥$ 平面 $B C E$ ， $A B = B C = C E = 2 C D = 2$ ， $∠ B C E = 120 °$ ，求证：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B E$ ．

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20. 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝AA₁＝2，∠BAC＝90°，M为BB₁的中点，N为BC的中点．

(1)、求点M到直线AC₁的距离；

(2)、求点N到平面MA₁C₁的距离．

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21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P B = \sqrt{3}$ ， $P C = 2$ ，点M是AB的中点．

(1)、求证：CM⊥平面PAB；

(2)、若点N为CD的中点，求直线PN与平面PMD所成角的正弦值．

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22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DF $= \frac{1}{3}$ PD．

(1)、求证：PB∥平面AEF；

(2)、若 $c o s ∠ B P A = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求三棱锥E﹣PAD的体积．

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