贵州省遵义市绥阳县2022-2023学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | 3 + 5 x - 2 x^{2} > 0}$ ， $B = {x | - 2 < x \leq 5 ， x \in N^{*}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， 3)$ B、 ${4 ， 5}$ C、 $\emptyset$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知复数z满足 $z - i z = 2$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、5

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3. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{12}$

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4. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a < 2$ 且 $b < 2$ ”是“ $a + b < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若圆锥的轴截面为等边三角形，且面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $8 \sqrt{3} π$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则此三角形（）

A、无解 B、一解 C、两解 D、解的个数不确定

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7. 已知 $a = 0 . 5^{0.5} ， b = l o g_{0.5} 0.4 ， c = \frac{l o g_{64} 16}{l o g_{27} 9}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为1，延长 $F D$ ， $B C$ 交于 $H$ ，则 $\vec{B H} \cdot \vec{H F} =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $- 3 \sqrt{3}$ C、9 D、 $- 9$

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9. 将 $f (x)$ 的图像上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数 $g (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0$ ， $ω > 0 ， 0 < | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像，函数 $g (x)$ 的图像如图所示，则（）

A、 $g (x) = 3 c o s (\frac{π}{2} x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x)$ 的图像的对称轴方程为 $x = 2 k π - \frac{π}{3} (k \in Z)$ C、不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(4 k - \frac{2}{3} ， 4 k + \frac{4}{3}) (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在 $(- 2 ， - 1)$ 上单调递增

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二、多选题

10. 已知复数 $z = (3 + 2 i) (1 - i^{3})$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为1 B、 $z$ 的虚部为 $5 i$ C、 $\bar{z} = - 1 - 5 i$ D、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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11. 已知m，n是两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）

A、若m $⊥ α$ ， n $⊥ α$ ，则m $/ /$ n B、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ C、若 $m / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则m $⊥ β$ D、若m，n是异面直线，且 $m \subset α$ ， n $\subset β$ ， $m / / β$ ，则n $/ /$ $α$

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12. 2022年4月23日至25日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为 $\bar{x_{1}} = 2.7$ ， $\bar{x_{2}} = 3.1$ ， $\bar{x_{3}} = 3.3$ ，每天读书时间的方差分别为 $s_{1}^{2} = 1$ ， $s_{2}^{2} = 2$ ， $s_{3}^{2} = 3$ ，则下列正确的是（）

A、从高一学生中抽取40人 B、抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时 C、被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D、估计全体学生每天的读书时间的方差为 $s^{2} = 1.966$

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三、填空题

13. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{5}} (x + 1) ， x \geq 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 3} ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b， $b^{2} - c^{2} = 2 a^{2}$ ， $c = 2 a$ ，则 $c o s B =$ ．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = - 2 x^{2} - 3 x$ ，若实数 $m$ 满足 $f (l o g_{2} m) \leq 5$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ．

(1)、若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求k的值；

(2)、若 $θ$ 为 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角，求 $θ$ 的值．

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18. 已知 $α ， β$ 为锐角， $s i n α = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， s i n (α - β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $t a n β$ 的值.

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19. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， $P A = A B = 3$ ，点M，N分别是棱PD的三等分点．

(1)、证明： $B N$ $/ /$ 平面ACM；

(2)、求三棱锥N－ACM的体积．

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20. 已知 $f (x) = 1 + \frac{2 b}{a^{x} - b}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是R上的奇函数，且 $f (2) = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (m x^{2} - 2 x) + f (m x + 2) \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，求m的取值范围．

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21. 某公司组织了丰富的团建活动，为了解员工对活动的满意程度，随机选取了100位员工进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， …， $[90 ， 100]$ 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图（这100人的评分值都分布在 $[40 ， 100]$ 之间）．

(1)、求实数m的值以及这100人的评分值的中位数；

(2)、现从被调查的问卷满意度评分值在 $[60 ， 80)$ 的员工中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．

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22. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， $s i n^{2} B + s i n^{2} C = s i n^{2} A + c o s (\frac{π}{2} - B) c o s (\frac{π}{2} + C)$ ．

(1)、求角A；

(2)、若AD是BC边上的中线， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求AD的最小值．

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