安徽省皖北县中联盟2022-2023学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{1 + 3 i}{3 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $3 i$ D、 $- 3 i$

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2. 若直线 $l_{1}$ ： $m x - y + 4 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x + 2 y - 3 = 0$ 平行，则实数 $m =$ （）

A、2 B、－2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | y = l g (x^{2} - 2 x - 3)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， m)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 n - m ， 1)$ （ $m ， n \in R$ ），且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m - n$ 的值为（）

A、－2 B、2 C、－1 D、1

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为 $A D_{1}$ 与 $A_{1} D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C P} =$ （）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 若角 $θ$ 的终边经过点 $(- 1 ， 2)$ ，则 $\frac{s i n θ (1 + s i n 2 θ)}{s i n θ + c o s θ} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $- \frac{6}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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7. 一束光线从点 $A (- 1 ， 0)$ 出发，经直线 $l$ ： $2 x - y + 3 = 0$ 上一点 $P$ 反射后，恰好穿过点 $B (1 ， 0)$ ，则反射光线 $P B$ 所在的直线在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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8. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $A D = S A = S D = 2 A B = 2$ ， $P$ 为棱 $A D$ 的中点，且 $S P ⊥ A B$ ， $\vec{A M} = λ \vec{A S} (0 ≤ λ ≤ 1)$ ，若点 $M$ 到平面 $S B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、多选题

9. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{b} - \vec{c}$ ， $\vec{c} - \vec{a}$ B、 $3 \vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ D、 $2 (\vec{a} + \vec{b})$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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10. 设函数 $y = l o g_{a} (2 x - 1) + 2$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $P$ ，若直线 $l$ 过点 $P$ ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 $l$ 的方程可以是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $2 x - y = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$

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11. 已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ ，实数 $m$ ， $n$ 满足不等式 $f (3 n - 2 m) + f (2 - n) > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $e^{m} > 2 e^{n}$ B、若 $n > - 1$ ，则 $\frac{n + 1}{m + 1} > \frac{n}{m}$ C、 $l n (m - n) > 0$ D、 $m^{2022} > n^{2022}$

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12. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $C C_{1} = 3$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，则（）

A、平面 $B D A_{1} ⊥$ 平面 $C C_{1} A_{1} A$ B、异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、设 $P$ ， $Q$ 分别在线段 $B_{1} C_{1}$ ， $D A_{1}$ 上，且 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C_{1}} = \frac{D Q}{D A_{1}} = \frac{3}{4}$ ，则 $P Q = \sqrt{3}$ D、若点 $M$ 在 $△ B D A_{1}$ 内（包括边界）且 $A M = 1$ ，则 $A M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{4}{5}$

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三、填空题

13. 张勇同学在上学期的8次物理测试中的成绩（单位：分）分别是：78，82，76，85，88，94，95，86，则这8次成绩的75%分位数为.

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $D C$ 边上，且 $\vec{D F} = \vec{F C}$ ， $\vec{C E} = 2 \vec{E B}$ ，若 $∠ A B C = 120 °$ ， $| \vec{A B} | = 8$ ， $| \vec{A D} | = 6$ ，则 $\vec{D E} ⋅ \vec{B F} =$ .

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15. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (2 ， 3)$ ，边 $B C$ 上的中线 $A P$ 所在直线方程为 $x + 9 y + 6 = 0$ ，边 $A B$ 上的高 $C H$ 所在直线方程为 $8 x + 3 y - 17 = 0$ ，则边 $A C$ 的中点为.

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16. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，如图所示，当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的体积是.

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四、解答题

17. 已知平面内三点 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (4 ， - 2)$ ， $C (7 ， 1)$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 经过点 $B$ 且与线段 $A C$ 有交点，求直线 $l_{1}$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1} = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点.

(1)、判断直线 $D E$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求异面直线 $A B_{1}$ 与 $B E$ 所成角的余弦值.

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19. 每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取

n

人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“

H

族”，否则称为“非

H

族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：

组数	分组	人数	本组中“ $H$ 族”的比例
第一组	$[25 ， 30)$	200	0.6
第二组	$[30 ， 35)$	300	0.65
第三组	$[35 ， 40)$	200	0.5
第四组	$[40 ， 45)$	150	0.4
第五组	$[45 ， 50)$	$a$	0.3
第六组	$[50 ， 55]$	50	0.3

(1)、试补全频率分布直方图，并求

a

与

n

的值；

(2)、从每天慢走时间在

[40 ， 45)

（分钟）内的“

H

族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在

[40 ， 45)

分钟内，另一个人在

[45 ， 50)

分钟内的概率.

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20. 歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状.如图所示的五面体 $E F - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为一个矩形， $A B = 2 E F = 8$ ， $A D = 6$ ， $E F ∥ A B$ ，棱 $E A = E D = F B = F C = 5$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $E F N M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B F$ 与平面 $E F C D$ 所成角的正弦值.

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21. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题.① $2 s i n A - s i n C - 2 s i n B c o s C = 0$ ；② $2 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{C B}$ （其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积）；③ $a^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} a c s i n B + c^{2} = b^{2}$ .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、若 $b = 4$ ， $a c = 3$ ，求 $a + c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a^{2} + c^{2}}{b^{2}}$ 的取值范围.

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22. 如图①，平面四边形 $A B D E$ 由直角梯形 $A C D E$ 和 $R t △ A C B$ 组成， $A C ⊥ B D$ ， $B C = C D = D E = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $D E ∥ A C$ .如图②，沿着直线 $A C$ 将直角梯形 $A C D E$ 折起至点 $D$ 和点 $M$ 重合，点 $E$ 和点 $N$ 重合，使得二面角 $M - A C - B$ 的大小为 $60 °$ .

(1)、求点 $A$ 到直线 $B M$ 的距离；

(2)、若点 $P$ 是线段 $A C$ 上的动点，是否存在点 $P$ ，使得平面 $B M N$ 与平面 $B P N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $C P$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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