安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二上学期数学秋季联赛试卷

试卷更新日期：2022-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z^{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、1 D、2

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2. 若集合 $A = {x ∣ 1 < e^{x} < e} ， B = {x ∣ (l n x)^{2} < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < \frac{1}{e}}$ B、 ${x ∣ 0 < x < \frac{1}{2}}$ C、 ${x ∣ \frac{1}{e} < x < 1}$ D、 ${x ∣ \frac{1}{2} < x < 1}$

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3. 平面 $α$ 与平面 $β$ 平行的充分条件是（）

A、 $α$ 内有无穷多条直线都与 $β$ 平行 B、直线 $a \subset α$ ，直线 $b \subset β$ ，且 $a ∥ β ， b ∥ α$ C、 $α$ 内的任何一条直线都与 $β$ 平行 D、直线 $a ∥ α ， a ∥ β$ ，且直线 $a$ 不在 $α$ 内，也不在 $β$ 内

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4. 设 $A ， B$ 是两个随机事件，且 $P (A) > 0 ， P (B) > 0$ ，则“事件 $A ， B$ 相互独立”是“事件 $A ， B$ 互斥”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知圆锥的高为 $\sqrt{6}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 为非零整数），有下列四个命题：
甲： $f (x)$ 的图像关于直线 $x = - 1$ 对称
乙： $f (x)$ 的最大值为4
丙：3是 $f (x)$ 的零点
丁：点 $(2 ， 3)$ 在曲线 $y = f (x)$ 上
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 已知 $t a n α ⩾ 2$ ，且 $s i n 2 α ⩾ \frac{4}{5}$ ，则（）

A、 $c o s α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $c o s α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $c o s 2 α = \frac{3}{5}$ D、 $c o s 2 α = - \frac{3}{5}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 中点， $E$ 为 $A D$ 中点，则下列结论中不可能成立的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{C E} = 0$ B、 $\vec{C E} ∥ (\vec{C B} + \vec{C A})$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} = 0$ D、 $\vec{C E} ∥ (\vec{C B} + 2 \vec{C A})$

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二、多选题

9. 设集合 $S ， T ， S \subseteq N^{*} ， T \subseteq N^{*} ， S ， T$ 中至少有两个元素，且 $S ， T$ 满足：①对于任意 $x ， y \in S$ ，若 $x \neq y$ ，都有 $x y \in T$ ；②对于任意 $x ， y \in T$ ，若 $x < y$ ，则 $\frac{y}{x} \in S$ ；则集合 $S$ 可以是（）

A、 $S = {1 ， 2 ， 3}$ B、 $S = {1 ， 2 ， 4}$ C、 $S = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ D、 $S = {2 ， 4 ， 8 ， 16}$

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10. （多选题）如图，点 $E$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $D D_{1}$ 的中点，点 $M$ 在线段 $B D_{1}$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A D$ 与直线 $C_{1} M$ 始终是异面直线 B、存在点 $M$ ，使得 $B_{1} M ⊥ A E$ C、四面体 $E M A C$ 的体积为定值 D、当 $D_{1} M = 2 M B$ 时，平面 $E A C ⊥$ 平面 $M A C$

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11. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) - a$ 在区间 $[0 ， n π] (n \in N^{*})$ 恰有2023个零点，则 $n$ 的可能取值为（）

A、1011 B、1012 C、2022 D、2023

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12. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为R，且 $f (1 + x) + f (1 - x) = 2 ， g (1 + x) + g (1 - x) = 2$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) - g (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x) + g (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 1)$ 对称 C、函数 $y = | f (x) - g (x) |$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称 D、函数 $y = | f (x) + g (x) |$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称

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三、填空题

13. 写出一个同时满足①②的复数 $z =$ .
① $z^{3} = \bar{z}$ ；② $z \notin R$ .

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14. 设函数 $f (x + 1)$ 为奇函数，当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) = l n \frac{1}{x}$ ，则当 $1 < x < 2$ 时， $f (x) =$ .

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15. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 C D = 2 ， ∠ D A B = ∠ C B A = \frac{π}{3} ， O$ 为 $A B$ 的中点.将 $△ B O C$ 沿 $O C$ 折起，使点 $B$ 到达点 $B^{^{'}}$ 的位置，当 $B^{'} D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，三棱锥 $B^{'} - A D C$ 外接球的球心到平面 $B^{'} C D$ 的距离为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $P (3 ， 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点，若存在直线 $l$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{O B} + \vec{P B} \cdot \vec{O A} = - 2$ ，则半径 $r$ 的取值范围为.

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17. 为了调查公司员工的健康状况，某公司男女员工比例是 $2 ： 3$ ，用分层随机抽样的方法抽取样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为 $70 k g$ ，标准差为 $5 k g$ ；女员工的平均体重为 $50 k g$ ，标准差为 $6 k g$ .则由此估计该公司员工的平均体重是 $k g$ ，方差是 $k g^{2}$ .

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四、解答题

18. 设 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ .证明：

(1)、 $1 \leq s i n x + c o s x \leq \sqrt{2}$ ；

(2)、 $1 \leq \sqrt{s i n x} + \sqrt{c o s x} \leq 2^{\frac{3}{4}}$ .

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19. 在① $(2 - c o s A) t a n \frac{C}{2} = s i n A$ ， ② $s i n (A + \frac{π}{6}) = \frac{c}{2 b}$ ， ③ $s i n A + s i n B = 2 \sqrt{6} s i n A s i n B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $c = 3 ， C = \frac{π}{3}$ ， ______，求 $△ A B C$ 的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = \frac{2 π}{3} ， E ， F$ 是平面 $A B C D$ 同一侧的两点， $B E ⊥$ 平面 $A B C D ， D F ⊥$ 平面 $A B C D ， B E = 2 D F = \sqrt{2} ， A E ⊥ E C$ .

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $A F C$ ；

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 与四棱锥 $F - A B C D$ 公共部分的体积.

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21. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，拟确定一个合理的月用水量标准x（ $m^{3}$ ），一位居民的月用水量不超过x立方米的部分按平价收费，超出x立方米的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，从该市随机调查了1000位居民，获得了他们某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下频数分布表.
月用水量
$[0.5 ， 1]$
$(1 ， 1.5]$
$(1.5 ， 2]$
$(2 ， 2.5]$
$(2.5 ， 3]$
$(3 ， 3.5]$
$(3.5 ， 4]$
$(4 ， 4.5]$
频数
100
150
200
250
150
50
50
50

(1)、作出这些数据的频率分布直方图；

(2)、若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（ $m^{3}$ ），求x的估计值.

(3)、现制定了如下的阶梯水价收费标准，每人用水量中不超过3立方米的部分按4元/立方米收费，超出3立方米的部分按10元/立方米收费，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的人均水费.

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22. 如图，圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O ， A B ， C D$ 为两条互相垂直的直径， $Q$ 是底面圆周上的动点（异于 $A ， B$ ），且 $C ， Q$ 在直径 $A B$ 的两侧.已知 $P O = O B = 1$ .

(1)、若 $∠ Q O B = \frac{π}{4}$ ，求证： $P Q ⊥ A C$ ；

(2)、若在线段 $P Q$ 上存在点 $T$ （异于 $P ， Q$ ），使得 $B T / /$ 平面 $P A C$ ，求 $∠ Q O B$ 的取值范围.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 及圆内一点 $P (1 ， 0) ， Q$ 是圆 $O$ 上的动点.以 $Q$ 为圆心， $Q P$ 为半径的圆 $Q$ ，与圆 $O$ 相交于 $E ， F$ 两点.

(1)、若圆 $Q$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 恒有公共点，求 $r$ 的取值范围；

(2)、证明：点 $P$ 到直线 $E F$ 的距离为定值.

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24. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ .

(1)、若 $0 < k < \frac{1}{2}$ ，证明：函数 $g (x) = f (x) - k$ 有且仅有两个不同的零点；

(2)、在（1）的条件下，设这两个零点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ .
（i）证明： $x_{1} x_{2} = 1$ ；
（ii）将以 $A (x_{1} ， 0) ， B (x_{2} ， 0) ， C (x_{1} ， f (x_{1})) ， D (x_{2} ， f (x_{2}))$ 为顶点的四边形 $A B D C$ 绕 $x$ 轴旋转一周得到一个几何体，求该几何体体积的最大值.

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月用水量	$[0.5 ， 1]$	$(1 ， 1.5]$	$(1.5 ， 2]$	$(2 ， 2.5]$	$(2.5 ， 3]$	$(3 ， 3.5]$	$(3.5 ， 4]$	$(4 ， 4.5]$
频数	100	150	200	250	150	50	50	50