浙江省三校2022-2023学年高一上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 3}$ ， $B = {1 ， 2 ， 4}$ ，那么集合 $A \cup B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0 ， 1 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 3 ， 4}$

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2. 已知集合 $U = {x | 1 < x < 6 ， x \in N}$ ， $A = {2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 4 ， 5}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${4 ， 5}$ B、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ C、 ${2}$ D、 ${2 ， 4 ， 5}$

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3. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} < 1$ B、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} < 1$ C、 $\forall x < 1$ ， $x^{2} < 1$ D、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} < 1$

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4. 若 $a ， b \in R$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、 $c \in R$ ，若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $- 3 a > - 3 b$ ，则 $a < b$ D、 $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ ，若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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5. “ $x > 5$ ”是“ $x > \frac{13}{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、既不充分又不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 3$ ，则 $2 a + b$ 的最小值是（）

A、8 B、7 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 已知 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + a \geq 0$ ； $q ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 a x + 2 - a \neq 0$ ，若 $p ， q$ 一真一假，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > - 2$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \geq 1$ 或 $a \leq - 2$ D、 $- 2 < a < 1$

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8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ ，当且仅当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ 时等号成立．根据权方和不等式，函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \frac{9}{1 - 2 x} (0 < x < \frac{1}{2})$ 的最小值为（）

A、16 B、25 C、36 D、49

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x ∈ N ， \frac{12}{8 - x} ∈ Z}$ ，则下列属于集合A的元素有（）

A、 $- 4$ B、2 C、4 D、6

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10. 设集合 $A = {x \in R | x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ ， $B = {x \in R | a x - 1 = 0}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数a的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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11. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 3}$ ，则以下选项正确的有（）

A、 $a < 0$ B、 $c > 0$ C、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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12. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称 $\frac{a + b}{2}$ 为正数a，b的算术平均数， $\sqrt{a b}$ 为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} (a > 0 ， b > 0)$ 叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）

A、若 $a b = 1$ ，则 $a + b \geq 2$ B、若 $a > 0 ， b > 0 ， \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、若 $a > 0 ， b > 0 ， 2 a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b} \geq 4$ D、若实数a，b满足 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 4$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 2} + \frac{b^{2}}{b + 2}$ 的最小值为2

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {2 + a^{2}, a}$ ， $B = {0, 1, 3}$ ，且 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的值是.

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14. 已知实数a，b满足 $- 4 \leq a - b \leq - 1$ ， $2 \leq 2 a + b \leq 4$ ，则 $3 a + b$ 的取值范围为．

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15. 用 $17$ 列货车将一批货物从 $A$ 市以 $v k m / h$ 的速度匀速行驶直达 $B$ 市．已知 $A ， B$ 两市间铁路线长 $400 k m$ ，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于 ${(\frac{v}{20})}^{2} k m$ ，货车自身长度忽略不计，则这批货物全部运到 $B$ 市最快需要 $h$ ．

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16. 已知函数 $y_{1} = 2 x^{2} + (4 - m) x + 4 - m$ ， $y_{2} = m x$ ，若对于任一实数x， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 3 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 4 m - 1}$ ．

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知关于x的方程 $x^{2} + (m - 1) x + 1 = 0$ ， $m \in R$ ．

(1)、若方程的一个根为3，求方程的另一个根；

(2)、若方程有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} ， x_{2} \neq 3)$ ，且 $\frac{1}{x_{1} - 3} + \frac{1}{x_{2} - 3} = 1$ ，求实数 $m$ 的值．

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19. 已知a，b为正实数，且 $4 a^{2} + b^{2} = 2$ ．

(1)、求ab的最大值，并求出此时a，b的值；

(2)、求 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 的最大值，并求出此时a，b的值．

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20. 已知函数 $y = 2 x^{2} + 4 a x + 5 a - 3$ ．

(1)、若对 $\forall x \in R$ ，都有 $y > 0$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $\exists x \in {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，使 $y > - 2$ 成立，求实数a的取值范围．

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21. 如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 $100 m^{2}$ 的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为 $2800 元 / m^{2}$ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为 $250 元 / m^{2}$ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 $80 元 / m^{2}$ ．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）．

(1)、当 $x = 4 m$ 时，求草坪面积；

(2)、当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．

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22. 已知 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，关于 $x$ 的不等式 $| a x^{2} + b x + c | \leq | 2 x^{2} - 4 x - 30 |$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、若 $a$ ， $b \in N^{*}$ ， $c = 1$ ，关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实根，且均大于 $- 1$ 小于 $0$ ，求 $a + b$ 的最小值．

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