浙江省强基联盟2022-2023学年高一实验班上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $B = {x \in N | 1 < x < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $[- 1 ， 4]$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} - 1 ， x > 0 \\ l o g_{2} (x^{2} + 1) ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- \sqrt{3}))$ 的值为（）．

A、 $- 1 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、2 C、 $l o g_{2} 5$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = c o s (α + x) + c o s (2 α + x)$ 为奇函数，则α的值可能为（）．

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 设 $a = l o g_{0.3} 3$ ， $b = 2^{- 1}$ ， $c = l o g_{2} 3$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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5. 已知定义在实数集上的函数 $f (x)$ 是偶函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $f (1) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$

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6. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + a b + 2 b = 4$ ，则 $a - \frac{1}{b}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{6} - 2$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $5 - 2 \sqrt{6}$

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7. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $4 s i n^{2} α + 2 s i n^{2} β = 1$ ， $2 s i n 2 α - s i n 2 β = 0$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \geq 0 \\ - f (x) ， x < 0 \end{array}$ 且 $f (g (x)) - a = 0$ ，有6个不同的解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 1$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $0 < a < 1$ D、 $a > 1$

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二、多选题

9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in N$ ， $2 x$ 为偶数 C、所有菱形的四条边都相等 D、 $π$ 是无理数

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10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中 $P_{0}$ ）开始计时，则（）

A、点P第一次达到最高点，需要20秒 B、当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C、在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D、点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 $h = 4 s i n (\frac{π}{30} t - \frac{π}{6}) + 2$

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11. 若a， $b \in (0 ， + \infty)$ ， $a + b = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})$ 的最小值为4 B、 $\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 + b}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 a}{a^{2} + b} + \frac{b}{a + b^{2}}$ 的最大值是 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $2^{a} = 3^{b} = 1 2^{c} > 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a - 2 b > 0$ B、 $b - 2 c > 0$ C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ D、 $\frac{a + b}{c} \geq 3 + 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. “ $\exists x \in R$ ，使不等式 $| x + 1 | + | x - 2 | < a$ 成立”为假命题，则 $a$ 的取值范围.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (0 ， 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为.

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15. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = 4$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2 x - 1 | ， 0 < x \leq m \\ 2 s i n (\frac{π}{3} x) + 1 ， m < x \leq 10 \end{array}$ 恰有3个零点，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 化简求值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(- 3)^{2}} + l o g_{3} 18 - l o g_{3} 2$ ；

(2)、已知 $t a n α = 3$ ，求 $\frac{3 c o s (π + α) + c o s (\frac{π}{2} + α)}{s i n (3 π - α) - c o s (- α)}$ 的值．

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18. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $\vec{m} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{n} = - 3 \vec{a} + \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ ；

(2)、求 $| 2 \vec{m} + \vec{n} |$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 3$ ．

(1)、若 $f (x) \leq - 3$ 的解集为 $[b ， 3]$ ，求实数a，b的值；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{2} ， + ∞)$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \geq 1 - x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x (s i n x + c o s x) + a$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期以及实数 $a$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $f (θ) + g (θ) = \frac{8}{5}$ ，求 $t a n θ$ 的值.

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21. 对于函数 $f (x) = l n (\frac{2}{x} + a)$ .

(1)、若 $g (x) = f (1 - x)$ ，且 $g (x)$ 为奇函数，求a的值；

(2)、若方程 $f (x) = l n [(a - 6) x + 2 a - 8]$ 恰有一个实根，求实数a的取值范围；

(3)、设 $a > 0$ ，若对任意 $b \in [\frac{1}{4} ， 1]$ ，当 $x_{1} ， x_{2} \in [b ， b + 1]$ 时，满足 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq l n 2$ ，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (\sqrt{1 + x} - a | x - 1 |) (a > 0)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $A$ ，且 $A \subseteq [0 ， 2]$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \in [\frac{1}{2} ， + \infty)$ 时，求证：对于定义域内的实数 $x$ ，都有 $f (x) \leq a$ .

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