浙江省绿谷联盟2022-2023学年高一上学期数学10月建模考试试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ，集合 $B = {x | | x | < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2)$

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2. 设集合 $A = {2 ， 1 - a ， a^{2} - a + 2}$ ，若 $4 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、-3或-1或2 B、-3或-1 C、-3或2 D、-1或2

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3. 下列各组函数中表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} ， g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (x) = x + 1 ， g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = x + \frac{x^{0}}{3} ， g (x) = x + \frac{1}{3}$ D、 $f (x) = x^{2} + 4 x + 4 ， g (t) = (t + 2)^{2}$

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4. 若 $x > 0$ ，则 $2 - 3 x - \frac{4}{x}$ （）

A、有最大值 $2 - 4 \sqrt{3}$ B、有最小值 $2 - 4 \sqrt{3}$ C、有最大值 $2 + 4 \sqrt{3}$ D、有最小值 $2 + 4 \sqrt{3}$

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5. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (4) = 7$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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6. 若不等式 $2 a x^{2} + a x - 2 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 16 < a < 0$ B、 $- 16 < a \leq 0$ C、 $- 16 \leq a \leq 0$ D、 $a < - 16$ 或 $a \geq 0$

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7. “ $a < b < 0$ ”是“ $a - b < \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $y = f (x + 4)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $y = g (x - 2)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则（）

A、 $y = f (x)$ 是奇函数 B、 $y = g (x)$ 是偶函数 C、 $y = f (x)$ 关于点 $(2 ， 0)$ 对称 D、 $y = g (x)$ 关于直线 $x = 4$ 对称

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二、多选题

9. 下列命题的否定中，是真命题的有（）

A、某些平行四边形是菱形 B、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 3 < 0$ C、 $\forall x \in R ， | x | + x^{2} \geq 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - a x + 1 = 0$ 有实数解

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10. 设 $b > a > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $- \frac{1}{b} > - \frac{1}{a}$ B、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} b < a b^{2}$

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11. 下列函数中，值域是 $[0 ， + ∞)$ 的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ B、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 2}$ C、 $y = x + \sqrt{x - 2} - 2$ D、 $y = \frac{1}{| x + 2 |}$

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12. 狄利克雷（1805-1859）是德国数学家，对数论､数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837年他提出函数是 $x$ 与 $y$ 之间的一种对应关系的现代观点．用其名字命名的狄利克雷函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， & x 是有理数 \\ 0 ， & x 是无理数 \end{array}$ ，下列叙述中正确的是（）

A、 $D (x + 1) = D (x)$ B、 $D (x + \sqrt{3}) = D (x)$ C、 $D (D (x)) = 1$ D、 $D (x)$ 是偶函数

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三、填空题

13. 集合 ${x \in N ∣ - 2 < x < 5}$ 的非空真子集有个．

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14. 已知奇函数 $f (x)$ ，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，则 $f (2) =$ ．

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15. 若函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[0 ， 1]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x^{2})}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为．

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16. 已知两个正数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + x y - 2 = 0$ ，则 $4 x + y$ 的最小值是．

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17. 函数 $y = \frac{1}{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的单调递增区间为．

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 2 ， x \geq 0 \\ 2 x + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若存在互不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是．

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四、解答题

19. 已知集合 $A = {x ∣ a - 2 < x < 2 a + 1} ， B = {x ∣ 0 < x < 7} ， U = R$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A ∪ B ， A ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{17}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 上单调递增；

(3)、若 $f (a + 1) + f (1 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 丽水市某工厂生产甲产品的年固定成本为200万元，若甲产品的年产量为 $x$ 万件，则需另投入成本 $t (x) ($ 万元）．已知甲产品年产量不超过100万件时， $t (x) = \frac{1}{4} x^{2} + 14 x$ ；甲产品年产量大于100万件时， $t (x) = 51 x + \frac{10000}{x - 60} - 1450$ ．因设备限制，甲产品年产量不超过200万件．现已知甲产品的售价为50元/件，且年内生产的甲产品能全部销售完．设该厂生产甲产品的年利润为 $L$ （万元）．

(1)、写出 $L$ 关于 $x$ 的函数解析式 $L (x)$ ；

(2)、当年产量 $x$ 为多少时，该厂生产甲产品所获的利润 $L$ 最大？

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + 3$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 4 x + 3 > 0$ 的解集为 ${x | b < x < 1}$ ，求 $a ， b$ 的值．

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > - a x - 1$ 的解集．

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23. 已知函数 $f (x) = - x | x - a | + 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解方程 $f (x) = 0$ ；

(2)、当 $a \in [0 ， 5]$ 时，记函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [1 ， 4]$ 上的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最小值．

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