皖豫名校联盟2022-2023学年高一上学期数学阶段测试（一）试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 \leq 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. “ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题 $p ： “ \exists x \in R ， x^{2} - x - 1 \leq 0 ”$ ，那么命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - x - 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} - x - 1 > 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - x - 1 > 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - x - 1 \geq 0$

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4. 已知集合 $A = {x | - 4 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | \frac{x + 3}{x - 4} \geq 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < 4}$ B、 ${x | - 3 < x < 3}$ C、 ${x | - 3 < x \leq 4}$ D、 ${x | - 3 < x \leq 3}$

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5. 若 $t > 1$ ，则关于x的不等式 $(t - x) (x - \frac{1}{t}) < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | \frac{1}{t} < x < t}$ B、 ${x | x > \frac{1}{t}$ 或 $x < t}$ C、 ${x | x < \frac{1}{t}$ 或 $x > t}$ D、 ${x | t < x < \frac{1}{t}}$

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6. 若 $a > b$ ， $d > c$ ，且 $(c - a) (c - b) < 0$ ， $(d - a) (d - b) > 0$ ，则（）

A、 $b < a < c < d$ B、 $b < c < a < d$ C、 $c < d < b < a$ D、 $b < c < d < a$

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7. 已知不等式 $m x^{2} - m x - 1 < 0$ 对任意 $x \in R$ 都成立，则实数m的取值范围是（）

A、 ${m | 0 \leq m < 2}$ B、 ${m | 0 \leq m < 4}$ C、 ${m | - 2 < m \leq 0}$ D、 ${m | - 4 < m \leq 0}$

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8. 已知正数x，y满足 $x + y = 1$ ，则下列选项不正确的是（）

A、xy的最大值是 $\frac{1}{4}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是4 D、 $x (y + \frac{1}{2})$ 的最大值是 $\frac{9}{4}$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x + 1 > 0}$ ， $B = {x | x - 1 < 0}$ ， $C = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $C \subseteq A$ C、 $B ∩ C = \emptyset$ D、 $A ∪ B = R$

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10. 下列叙述正确的是（）

A、“ $a > b + 1$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $\exists x \in R$ ， $1 < y \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $y \leq 1$ 或 $y > 2$ ” C、设x， $y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件 D、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是真命题

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11. 设 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ B、 $\frac{2}{a + b} < \frac{1}{\sqrt{a b}}$ C、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{\sqrt{a b}} > a + b$ D、 $\frac{b^{2}}{a} < 2 b - a$

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12. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 4$ 或 $x \geq 3}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < 12}$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}}$

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三、填空题

13. 当 $0 \leq x \leq 3$ 时，函数 $y = x^{2} - 2 x + 5$ 的最大值为．

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14. 给出一个能够说明命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ ”为假命题的数： $x =$ ．

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15. 已知集合 $A = {x | - 5 < x < 2}$ ， $B = {x | m - 1 < x < 2 m}$ ，若 $B \neq \emptyset$ ，且 $A \cup B = A$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 若正数a，b满足 $4 a b = a + b + 6$ ，则 $a + b$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x | (x - 2) (x - a) = 0 ， a \in R}$ ， $B = {x | x (x - 1) = 0}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A ∩ B$ ， $A ∪ B$ ；

(2)、设 $C = A ∪ B$ ，若集合C有8个子集，求a的取值集合．

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18. 已知关于x的不等式 $x^{2} - a x - x + b < 0$ ．

(1)、若此不等式的解集为 ${x | - 1 < x < 1}$ ，求a，b的值；

(2)、若 $a = b$ ，求不等式的解集．

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19. 已知 $p (x) ： 2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$ ， $q (x) ： x^{2} - (2 a - 1) x + a (a - 1) < 0$ ．

(1)、若 $1 \in {x | q (x)}$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $q (x)$ 是 $p (x)$ 的充分条件，求实数a的取值范围．

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20. 已知a，b都是正数，求证：

(1)、 $a + b + 1 ≥ \sqrt{a b} + \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ；

(2)、 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} \geq a + b$ ．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - (1 + 2 k) x + k + 2 = 0$ ．

(1)、若方程有两个不相等的实数根，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k$ 取满足（1）中条件的最大整数时，设方程的两根为 $m$ 和 $n$ ，求代数式 $m^{4} + n^{2} + 2 n + 2022$ 的值．

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22. 某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y（单位：万元）与年产量x（单位：吨， $x > 0$ ）之间的函数关系式为 $y = \frac{x^{2}}{4} - 70 x + 10000$ ，已知该生产线年产量最大为220吨．

(1)、求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本．

(2)、若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润？最大年利润是多少？

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