山东、河北、湖南等新高考省份2022-2023学年高一上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${0 ， 2 ， 4}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${0 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知命题 $p ： \exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 1 = x$ ．则（）

A、p为真命题， $\neg p ： \exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 1 = x$ B、p为假命题， $\neg p ： \forall x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \neq x$ C、p为真命题， $\neg p ： \forall x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \neq x$ D、p为假命题， $\neg p ： \forall x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \neq x$

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3. “ $x \in Q$ ”是“ $x \in N$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充要条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 给出下列关系：
（1） $\emptyset \subseteq {0}$ ；（2） $0 \in {(x ， y) | y = \sqrt{x}}$ ；（3） ${\frac{a}{| a |} | a \in R 且 a \neq 0} = {1 ， - 1}$ ；（4） $N \in R$ ．其中不正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若命题“ $\exists x \in R$ ， $a x^{2} - a x + 4 \leq 0$ ”是假命题，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | 0 \leq a < 16}$ B、 ${a | 0 \leq a \leq 16}$ C、 ${a | 0 \leq a < 4}$ D、 ${a | 0 \leq a \leq 4}$

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6. 甲、乙两人解关于x的不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ ，甲写错了常数b，得到的解集为 ${x | - 6 < x < 1}$ ；乙写错了常数c，得到的解集为 ${x | 1 < x < 4}$ ．那么原不等式的解集为（）

A、 ${x | 1 < x < 6}$ B、 ${x | - 1 < x < 4}$ C、 ${x | - 4 < x < 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 6}$

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7. 若 $M ⊆ {x ∈ N | x ≤ 4}$ ，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（）

A、16 B、20 C、24 D、32

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二、多选题

8. 若 $a$ ， $b \in R$ 且 $a b > 0$ ，则下列不等式中不恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ B、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ C、 $\sqrt{a b} + \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$

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9. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 > 0}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 9}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = \emptyset$ B、 $A ∪ B = R$ C、 $∁_{R} A \subseteq B$ D、 $B \subseteq ∁_{R} A$

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10. 已知实数a，b，c，若 $a > b > | c |$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a b > b c$ B、 $a c < b c$ C、 $a^{2} > c^{2}$ D、 $a (a - c) > b (b - c)$

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11. $a b + 4 = 2 a + 2 b$ 成立的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $a = 2$ B、 $b = 2$ C、 $a = b$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$

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12. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c - 1 < 0$ 的解集为 ${x | α < x < β}$ ，且 $β - α < 1$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个不等实根，则（）

A、 $a < 0$ B、 $β - x_{1} = x_{2} - α$ C、 $| x_{1} - x_{2} | < 1$ D、 $| β^{2} - x_{2}^{2} | > | α^{2} - x_{1}^{2} |$

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三、填空题

13. 已知 $1 \leq a \leq 3$ ， $- 2 \leq b \leq - 1$ ，则ab的最小值为，最大值为．

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14. 某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的 $\frac{3}{4}$ ，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的 $\frac{2}{3}$ ，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为．

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15. 设 $x$ ， $y \in R$ ，若 $16 x^{2} + y^{2} + 4 x y = 3$ ，则 $4 x + y$ 的最大值为．

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16. 已知集合 $A = {x | x^{3} - 2 x^{2} + a x = 0}$ 恰有8个子集，则a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，称为高斯取整函数，例如 $[3.4] = 3$ ， $[- 4.2] = - 5$ ，方程 $[x + 1] = 2$ 的解集为 $A$ ，不等式 $2 x^{2} - 3 x \leq 0$ 的解集为 $B$ ．

(1)、求 $A ∪ B$ ；

(2)、已知 $x \in A$ ，正数a，b满足 $a + b = [x]$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值．

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18. 已知 $p ： 2 x^{2} - 5 x - 3 > 0$ ， $q ： x > a$ ， $r ： x^{2} \leq m (m > 0)$ ．

(1)、若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是r的必要条件，求m的最大值．

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19. 设集合 $A = {x | x^{2} + (m + 1) x + m = 0}$ ， $B = {x | a x + 4 = 0}$ ， $C = {- 1 ， - 3}$ ．已知 $A \cup C = {- 3 ， - 2 ， - 1}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求所有满足条件的a的取值集合．

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20. 如图，直角三角形 $A B C$ 是一个展览厅的俯视图，矩形 $D E F G$ 是中心舞台，已知 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ．

(1)、要使中心舞台的面积大于 $\frac{72}{25}$ ，求 $D E$ 的取值范围．

(2)、当 $D E$ 的长度为多少时，中心舞台的面积最大？并求出最大的面积．

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21.

(1)、若 $a x^{2} + x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | b < x < b + 3}$ ，求实数a，b的值；

(2)、已知 $a < 0$ ，求关于x的不等式 $a x^{2} + x + 2 < 3 a x + 5$ 的解集．

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22.

(1)、已知x，y为正实数．证明： $\frac{x}{x + y} + \frac{y}{2 x + y} \geq 2 \sqrt{2} - 2$ ．

(2)、对任意的正实数x，y，均有 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y} \leq k \sqrt{x + y}$ 成立，求k的取值范围．

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