江苏省苏州地区部分校2022-2023学年高一上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5} ， B = {2 ， 3 ， 4} ， C = {x \in R | 1 ⩽ x < 3}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、{2} B、{2，3} C、{-1，2，3} D、{1，2，3，4}

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ ，则它的否定为（）

A、 $\forall x < 0$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x < 0$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\exists x \geq 0$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$

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3. 已知函数 $y = x + \frac{4}{x - 1} (x > 1)$ ，则此函数的最小值等于（）

A、 $\frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ B、 $4 \sqrt{2} + 1$ C、5 D、9

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4. 在 $R$ 上定义运算 $\otimes$ ： $x \otimes y = x (1 - y)$ ，若不等式 $(x - a) \otimes (x - b) > 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $8$

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5. 若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 下列说法中，错误的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ， $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$

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7. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形 $△ A B C$ 中，点 $O$ 为斜边 $A B$ 的中点，点 $D$ 为斜边 $A B$ 上异于顶点的一个动点，设 $A D = a$ ， $B D = b$ ，则该图形可以完成的无字证明为（）

A、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ B、 $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$

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8. 设 $a > 0$ ， $b > 1$ ，若 $a + b = 2$ ，且不等式 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b - 1} > m^{2} + 8 m$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是

A、 $m > 9$ 或 $m < - 1$ B、 $m > 1$ 或 $m < - 9$ C、 $- 9 < m < 1$ D、 $- 1 < m < 9$

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二、多选题

9. 下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“若 $x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ ”的否定是“ 存在 $x < 1$ ，则 $x^{2} \geq 1$ ”. C、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要而不充分条件 D、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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10. 下列命题中，当U为全集时，下列说法正确的是（）

A、若 $A ∩ B = \emptyset$ ，则 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B) = U$ B、若 $A ∩ B = \emptyset$ ，则 $A = \emptyset$ 或 $B = \emptyset$ C、若 $A \cup B = U$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = \emptyset$ D、若 $A ∪ B = \emptyset$ ，则 $A = B = \emptyset$

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11. 下列选项中正确的是（）

A、不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 恒成立 B、存在实数 $a$ ，使得不等式 $a + \frac{1}{a} \leq 2$ 成立 C、若 $a$ ， $b$ 为正实数，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 8$

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a > 0)$ 有两个相等的实数根，则（）

A、 $a^{2} - b^{2} \leq 4$ B、 $a^{2} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集为 ${x | x_{1} < x < x_{2}}$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ D、若不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 ${x | x_{1} < x < x_{2}}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 6$ ，则 $c = 9 .$

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三、填空题

13. 若命题“ $\exists x \in R$ 使 $x^{2} + (a - 1) x + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为，

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14. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．

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15. 命题p：（x﹣m）²＞3（x﹣m）是命题q：x²+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为.

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16. 已知关于 $x$ 的不等式 $(m x - m^{2} - 6) (x + 4) < 0$ （其中 $m \in R$ ）的解集为 $A$ ，若满足 $A \cap Z = B$ （其中 $Z$ 为整数集），则使得集合 $B$ 中元素个数最少时 $m$ 取值范围是

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四、解答题

17. 已知 $A = {x | | x - 3 | < 1}$ ， $B = {x | (x - 3) (x - 1) > 0}$ .
求：

(1)、 $A ∪ B$

(2)、 $A ∩ (∁_{R} B)$ .

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18.

(1)、已知 $x > 3$ ，求 $\frac{4}{x - 3} + x$ 的最小值；

(2)、已知x，y是正实数，且 $x + y = 4$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值．

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19. 已知命题“关于x的方程 $x^{2} + m x + 2 m + 5 = 0$ 有两个不相等的实数根”是假命题.

(1)、求实数m的取值集合 $A$ ；

(2)、设集合 $B = {x | 1 - 2 a \leq x \leq a - 1}$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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20. 一学生社团要设计一个如图所示的矩形团徽 $A B C D$ ，已知点 $E$ 在边 $C D$ 上， $A E = C E$ ， $A B > A D$ ，矩形的周长为 $8 c m$ .

(1)、设 $A B = x c m$ ，试用 $x$ 表示出图中 $D E$ 的长度，并求出 $x$ 的取值范围；

(2)、计划在 $△ A D E$ 区域涂上蓝色代表星空，如果要使 $△ A D E$ 的面积最大，那么应怎样设计团徽的长和宽.

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21. 设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ ．

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，求 $\frac{m^{2} + 2 m + 5}{m + 1}$ 的最小值；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x + m - 2 < m - 1 (m \in R)$

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22. 符号 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数（ $x \in R$ ），例如： $[1.3] = 1 ， [2] = 2 ， [- 1.2] = - 2$

(1)、已知 $[x] = 2 ， [x] = - 2$ ，分别求两方程的解集 $M 、 N$ ；

(2)、设方程 $[| x | + | x - 1 |] = 3$ 的解集为 $A$ ，集合 $B = {x | 2 x^{2} - 11 k x + 15 k^{2} \geq 0}$ ，若 $A ∪ B = R$ ，求 $k$ 的取值范围.

(3)、在（2）的条件下，集合 $C = {x | x^{2} - a x + 1 - 2 a \leq 0 ， a \in R}$ ，是否存在实数 $a$ ， $A ∩ C = A$ ，若存在，请求出实数 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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