河南省周口市郸城县优质2022-2023学年高一上学期数学第二次月考试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 给出下列关系式：① $0 \in \emptyset$ ；② $- 3 \in Z$ ；③ ${0} \subseteq {x | x^{2} = x}$ ；④ ${0} \subseteq N^{*}$ ；⑤ ${1} \subseteq {(x ， y) | {\begin{array}{l} 2 x - y = 1 \\ x + 4 y = 5 \end{array}}$ ，其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x < 0}$ ， $B = {a |$ 方程 $a x^{2} - 2 a x + 1 = 0$ 无实根 $}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{\sqrt{3 x - 2}} + (x - 1)^{0}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + ∞)$ C、 $[\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + ∞)$ D、 $[- \frac{2}{3} ， + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x + 1 ， x < 2 ， \\ x^{2} + a x ， x \geq 2 ， \end{array}$ 若 $f (f (\frac{2}{3})) = - 6$ ，则实数 $a =$ （）

A、－5 B、5 C、－6 D、6

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5. 函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递减，若 $f (1) = - 1$ ， $f (- 1) = 1$ ，则满足 $- 1 \leq f (x - 2) \leq 1$ 的x的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[0 ， 4]$

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6. 已知 $f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{x + 1}$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $\frac{1}{x + 1}$ B、 $\frac{x + 1}{x}$ C、 $\frac{x}{x + 1}$ D、 $x + 1$

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7. 设 $a \in R$ ，已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $[- 4 ， 4]$ 上的减函数，且 $f (a + 1) > f (2 a)$ ，则a的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， 1)$ B、 $(1 ， 4]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 4) x + 5 ， x < 4 \\ x^{2} - 2 a x + 7 ， x \geq 4 \end{array}$ ，在R上单调递增，则a的取值范围为（）

A、 $(2 ， 4]$ B、 $(2 ， \frac{17}{8}]$ C、 $[4 ， + ∞)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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二、多选题

9. 设 $A = {x | x^{2} - 8 x + 15 = 0}$ ， $B = {x | a x - 1 = 0}$ ，若 $A ∩ B = B$ ，则实数a的值可以为（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、3

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10. 已知不等式 $x^{2} - (3 a + 1) x + 2 a^{2} + 2 a > 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则不等式的解集为 $R$ B、若 $a = 0$ ，则不等式的解集为 ${x | x > 1 或 x < 0}$ C、若 $a > 1$ ，则不等式的解集为 $x < a + 1$ 或 $x > 2 a$ D、若 $a < 1$ ，则不等式的解集为 ${x | x < 2 a 或 x > a + 1}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ ，下列结论正确的是（）

A、定义域、值域分别是 $[- 1 ， 3]$ ， $[0 ， + ∞)$ B、单调减区间是 $[1 ， 3]$ C、定义域、值域分别是 $[- 1 ， 3]$ ， $[0 ， 2]$ D、单调减区间是 $(- \infty ， 1]$

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12. 下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ B、函数 $y = \frac{x}{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、函数 $y = 2 x + \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty ， \frac{17}{8}]$ D、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的值域为 $[4 ， 12]$

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三、填空题

13. 若不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x ∣ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}}$ ，则 $a - b$ 的值是.

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14. 函数 $y = x^{2} - 2 m x + 3$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上具有单调性，则m的取值范围为.

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15. 已知函数y＝ax²－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是．

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16. 已知 $m$ 为实数，命题甲：关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + m x - 4 < 0$ 的解集为 $R$ ；命题乙：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m + 20 = 0$ 有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | x < - 2$ 或 $x > 5}$ ．

(1)、求 $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 2 m < x < m + 1}$ ，且 $A \cap C = \emptyset$ ．求m的取值范围．

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18.

(1)、已知0＜x＜ $\frac{1}{2}$ ，求y＝ $\frac{1}{2}$ x(1－2x)的最大值．

(2)、已知x＜3，求f(x)＝ $\frac{4}{x - 3}$ ＋x的最大值．

(3)、已知x，y∈R^＋，且x＋y＝4，求 $\frac{1}{x}$ ＋ $\frac{3}{y}$ 的最小值；

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19. 若二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ）满足 $f (x + 1) - f (x) = 4 x + 1$ ，且 $f (0) = 3$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若在区间 $[- 1 ， 1]$ 上，不等式 $f (x) > 6 x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 a + 2 x - \frac{1}{x} (a > 0 ， x > 0)$ .

(1)、求证： $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最大值是最小值的2倍，求a的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x} (a \in R)$ ，且 $f (1) = 5$ ．

(1)、求a的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．

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22. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 $2 \leq t \leq 20$ ， $t \in N^{*}$ ，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当 $10 \leq t \leq 20$ 时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当 $2 \leq t < 10$ 时，载客量会减少，减少的人数与 $(10 - t)$ 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为 $p (t)$ .

(1)、求 $p (t)$ 的解析式；

(2)、若该时段这条线路每分钟的净收益为 $Q = \frac{6 p (t) - 3360}{t} - 360$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

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