河南省部分名校2022-2023学年上学期数学高一第一次阶段测试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列各组对象不能构成集合的是（）

A、1~10之间的所有奇数 B、北方学院2022级大学一年级学生 C、滑雪速度较快的人 D、直线 $y = 2 x + 1$ 上的所有的点

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2. 集合 ${a, b, c}$ 的真子集共有（）个

A、5 B、6 C、7 D、8

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3. 设a， $b \in R$ ，则“ $a + b > 7$ ”是“ $a > 3$ 且 $b > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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4. 已知 $x \neq 3$ 且 $y \neq - 2$ ， $M = x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y$ ， $N = - 13$ ，则M与N的大小关系是（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、不能确定

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5. 若 $A = {x | | x - \frac{1}{3} | < 1}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} \geq \frac{1}{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < \frac{4}{3}}$ B、 ${x | 0 < x \leq \frac{4}{3}}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2}$ D、 ${x | - \frac{2}{3} < x \leq 2}$

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6. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < b^{2}$

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7. 已知全集为U，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $B = {x | x \geq 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${3}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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8. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且满足 $x + 6 y = 6$ ，则 $x y$ 有（）

A、最大值 $\frac{3}{2}$ B、最小值 $\frac{3}{2}$ C、最大值1 D、最小值1

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{3} \in Q$ B、 $\sqrt{3} \in Q$ C、 $0 \in N^{*}$ D、 $- 5 \in Z$

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10. 若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题 $p ： M \subseteq N$ 充要条件的是（）
$m ： M ∩ N = M$ ， $n ： M ∪ N = M$ ， $s ： M ∩ (∁_{I} N) = \emptyset$ ， $t ： M ∩ N = I$

A、m B、n C、s D、t

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11. 设集合 $M = {1 ， 3}$ ， $N = {x | a x + 3 = 0 ， a \in R}$ 且 $M ∩ N = N$ ，则实数a可以是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、0

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12. 已知正数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$

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三、填空题

13. 用列举法表示由满足不等式 $- 3 < 2 x - 1 < 3$ 的整数构成的集合为.

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14. 已知命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} - 1 \leq 8$ ，则 $\neg p$ 为.

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15. 已知 $- 2 < a < 3$ ， $1 < b < 4$ ，令 $x = a - 2 b$ ，则 x 的取值范围（结果用集合表示）.

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16.

(1)、已知 $b g$ 糖水中含有 $a g$ 糖（ $b > a > 0$ ），若再添加 $m g (m > 0)$ 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 $\frac{a}{b}$ $\frac{a + m}{b + m}$ .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

(2)、 $M = \frac{20192019}{20232023}$ ， $N = \frac{20192016}{20232020}$ ，则MN（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

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四、解答题

17. ① $2 \in A$ ， $3 \notin A$ ， ②一次函数 $y = a x + b$ 的图像过 $M (1 ， 5)$ ， $N (3 ， 9)$ 两点，在这两个条件中选一个，补充在下面问题中并解答.
问题：已知集合 $A = {x \in Z | | x | \leq a}$ ， $B = {x | x = 2 n + 1 ， n \in Z}$ ， ______，求 $A ∩ B$ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知集合 $A = {x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、求 $∁_{R} A$ .

(2)、若 $(∁_{R} A) ∪ B = ∁_{R} A$ ，求实数m的取值范围.（结果用集合表示）

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19. 已知集合 $A = {x | a < x < 3 a}$ ，集合 $B = {x | 2 - x ≤ 0}$ ， $C = {x | x - 3 ≤ 0}$ .

(1)、求 $B ∪ C$ ， $B ∩ C$ ；

(2)、设 $a > 0$ ，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B ∩ C$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

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20.

(1)、已知 $a b > 0$ ， $a < b$ ，求证： $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ .

(2)、A、B地相距2公里，甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条线路步行到B地.甲在前一半时间的行走速度为 $v_{1}$ ，后一半时间的行走速度为 $v_{2}$ ；乙用速度 $v_{1}$ 走完1公里，用速度 $v_{2}$ 走完剩下的1公里.若 $v_{1} \neq v_{2}$ ，问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由.

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21. 设集合 $A = {x^{2} ， 2 x - 1 ， - 4}$ ， $B = {x - 5$ ， $1 - x$ ， $9}$ ，若 $A \cap B = {9}$ .

(1)、求集合A，B；

(2)、定义集合A、B的一种运算： $A * B = {x | x = x_{1} + x_{2} ，其中 x_{1} \in A ， x_{2} \in B}$ ，求 $A * B$ .

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22. 如图所示，将一个矩形花坛 $A B C D$ 扩建成一个更大的矩形花坛 $A M P N$ ，要求M在射线 $A B$ 上，N在射线 $A D$ 上，且对角线 $M N$ 过C点.已知 $A B = 6$ 米， $A D = 4$ 米，设 $A N$ 的长为 $x (x > 4)$ 米.

(1)、用 $x (x > 4)$ 来表示矩形花坛 $A M P N$ 的面积；

(2)、求当 $A M$ ， $A N$ 的长度分别是多少时，矩形花坛 $A M P N$ 的面积最小，并求出此最小值.

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