广东省中山市2022-2023学年高一上学期数学第一次调研试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x}$ 的定义域是（）

A、 $R$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 1 ， x ≤ 1 \\ \frac{3}{x} ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\frac{3}{19}$ B、3 C、1 D、19

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3. 某电脑安装了“Windows”和“Linux”两个独立的操作系统.每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用.设事件A=“Windows系统正常”，B=“Linux系统正常”.以1表示系统正常，0表示系统不正常，用 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别表示“Windows”和“Linux”两个系统的状态， $(x_{1}, x_{2})$ 表示电脑的状态，则事件 $A \cup B =$ （）

A、 ${(0,0), (0,1)}$ B、 ${(1,0), (1,1)}$ C、 ${(0,1), (1,0), (1, 1)}$ D、 ${(0,0), (0,1), (1, 0), (1, 1)}$

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4. 在下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = {(\sqrt{x - 1})}^{2}$ B、 $f (x) = | x - 3 |$ ， $g (x) = \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ D、 $f (x) = \sqrt{(x - 1) (x - 3)}$ ， $g (x) = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 3}$

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5. 对于任意实数 $a ， b ， c ， d$ ，给定下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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6. 已知 $m$ 、 $n$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 4 m + n + 2 m n$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $- 5$ D、 $- 9$

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7. 已知关于x的不等式 $(x - a) (x + 2 a) < 0$ 的解集为M，若 $4 \notin M$ ，则a的取值范围为（）

A、[－2，4] B、（－2，4） C、 $(- \infty ， - 2] \cup [4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) \cup (4 ， + \infty)$

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8. 设定义在R上的函数 $y = f (x)$ ，对于任一给定的正数p，定义函数 $f_{p} (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) \leq p \\ p ， f (x) > p \end{array}$ ，则称函数 $f_{p} (x)$ 为 $f (x)$ 的“p界函数”.关于函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 的2界函数，结论不成立的是（）

A、 $f_{2} (f (0)) = f (f_{2} (0))$ B、 $f_{2} (f (1)) = f (f_{2} (1))$ C、 $f_{2} (f (2)) = f (f_{2} (2))$ D、 $f_{2} (f (3)) = f (f_{2} (3))$

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二、多选题

9. 图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $N \cap C_{U} M$ B、 $M ∩ ∁_{U} N$ C、 $[∁_{U} (M \cap N)] \cap N$ D、 $(∁_{U} M) ∩ (∁_{U} N)$

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10. 可以作为 $x < - 1$ 或 $x > 3$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $x < - 2$ B、 $x < 1$ C、 $x > 4$ D、 $x > 2$

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11. 一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）

A、 $0$ 点到 $3$ 点只打开了两个进水口 B、 $3$ 点到 $4$ 点三个水口都打开 C、 $4$ 点到 $6$ 点只打开了一个出水口 D、 $0$ 点到 $6$ 点至少打开了一个进水口

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a (x + 1) (x - 3) + 1 > 0 (a \neq 0)$ 的解集是 $(x_{1} ， x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{1} x_{2} < - 3$ C、 $x_{2} - x_{1} > 4$ D、 $- 1 < x_{1} < x_{2} < 3$

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三、填空题

13. 写出一个解集为 $(- 2 ， 3)$ 的一元二次不等式：．

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14. 已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，则 $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3 =$ .

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15. 以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间 $[0 ， 4]$ 对应的线段，该线段长度为4个单位．将该线段对折后（坐标4对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为4个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1和3对应的点被拉到坐标2，原来的坐标2对应的点被拉到坐标4，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第 $n$ 次操作完成后 $(n \geq 1)$ ，原闭区间 $[0 ， 4]$ 上恰好被拉到坐标4的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为 $L_{n}$ ，例如 $L_{1} = {2}$ ．则集合 $L_{3}$ 可以用列举法表示为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别由下表给出：
$x$
1
2
3
4
5
$f (x)$
1
4
9
16
25
$x$
2
3
4
5
6
$g (x)$
1
3
2
4
5
则 $g (f (2)) =$ ，不等式 $f (g (x)) > 8$ 的解集为．

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四、解答题

17.

(1)、若 $x \in R$ ，试比较 $3 x^{2} + 6 x$ 与 $4 x^{2} - 2 x + 16$ 的大小；

(2)、已知 $- 5 < x < 4$ ， $2 < y < 3$ .求 $x - 2 y$ 的取值范围.

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18. 已知集合 $A = {x ∣ a < x < 1}$ ，集合 $B = {x ∣ 0 < x < 3}$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 | x | + 2$ .

(1)、画出 $f (x)$ 的图象；

(2)、根据图象写出 $f (x)$ 的值域.

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20. 在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：若 $x > 1$ ，则 $2 x + 1 \geq 5$ ；（假命题）.这个命题是省略了量词的全称量词命题.

(1)、有人认为命题“若 $x > 1$ ，则 $2 x + 1 \geq 5$ ”的否定是“若 $x > 1$ ，则 $2 x + 1 < 5$ ”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定；

(2)、求a的取值范围，使“若 $x > 1$ ，则 $x^{2} - a x + a + 3 \geq 0$ ”是真命题.

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21. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知 $a b = 1$ ，求证： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．
证明：原式 $= \frac{a b}{a b + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：

(1)、已知 $a b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值；

(2)、若 $a b c = 1$ ，解方程 $\frac{5 a x}{a b + a + 1} + \frac{5 b x}{b c + b + 1} + \frac{5 c x}{c a + c + 1} = 1$ ；

(3)、若正数 $a ， b$ 满足 $a b = 1$ ，求 $M = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + 2 b}$ 的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x - a$ ， $g (x) = a | x - 1 |$ ， $a \in R$ ．
（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求满足 $g (x) + g (x - 1) > 1$ 的实数x的取值范围；

（Ⅱ）设 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 ， 2]$ ，使得 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \geq 6$ 成立，试求实数a的取值范围．

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$x$	1	2	3	4	5
$f (x)$	1	4	9	16	25

$x$	2	3	4	5	6
$g (x)$	1	3	2	4	5