甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高一上学期数学第二次检测试卷

试卷更新日期：2022-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题 $\forall x \in R ， | x | - 1 > 0$ 的否定为（）

A、 $\forall x \notin R ， | x | - 1 > 0$ B、 $\forall x \in R ， | x | - 1 < 0$ C、 $\exists x \in R ， | x | - 1 \leq 0$ D、 $\exists x \notin R ， | x | - 1 \leq 0$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} - 2 x$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最小值是（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、1 D、-1

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3. 用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”.后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”.韦恩用图1中的区域Ⅱ表示下列哪个集合（）

A、A∩B B、A∩（ $∁$ _UB） C、（ $∁$ _UA）∩B D、（ $∁$ _UA）∩（ $∁$ _UB）

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 6 ， 1]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (2 x + 1)}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[- 11 ， - 2) ∪ (- 2 ， 3]$ B、 $[- \frac{7}{2} ， - 2) \cup (- 2 ， 0]$ C、 $[- \frac{7}{2} ， 0]$ D、 $[- 11 ， 3]$

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5. 若函数 $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt{m x^{2} + 2 m x + 4}}$ 的定义域为R，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $[0 ， 4)$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup (4 ， + \infty)$

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6. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 ${(a + c)}^{2} > {(b + c)}^{2}$ D、若 $a b > 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

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8. 符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.14] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，定义函数： $f (x) = x - [x]$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值为 $1$ ，最小值为 $0$ B、 $f (- \frac{1}{3}) < f (\frac{1}{3})$ C、方程 $f (x) - \frac{1}{2021} = 0$ 有无数个根 D、函数 $f (x)$ 在定义域上是单调递增函数

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二、多选题

9. 中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合 $M = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $N = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4 ， 16}$ ，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 $M$ 到 $N$ 的函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = x$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = x^{2}$

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10. （多选题）已知集合 $A = {0 ， 1 ， 3}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，定义运算 $A * B = {x | x = a + b ， a \in A ， b \in B}$ ，则下列描述正确的是（）

A、 $0 \in (A * B)$ B、记 $A * B$ 为集合 $U$ ，则 $(∁_{U} B) \cap A = {3}$ C、若 $B \subseteq M \subseteq (A * B)$ ，则符合要求的 $M$ 有 $4$ 个 D、 $A * B$ 中所有元素之和为 $15$

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11. 下列关于一元二次不等式叙述正确的是（）

A、若一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则 $a < 0$ ，且 $Δ \leq 0$ B、若 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ，则一元二次不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 的解集与一元二次不等式 $a_{2} x^{2} +$ $b_{2} x + c_{2} > 0$ 的解集相等 C、已知 $a \in Z$ ，关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} - 6 x + a \leq 0$ 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的 $a$ 的值之和是22 D、若一元二次不等式 $a x^{2} + b x - 2 > 0$ 和不等式 $\frac{4 x + 1}{x + 2} < 0$ 的解集相同，则 $a + b$ 的值为 $- 13$

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12. 下列命题为真命题的是（）

A、不等式 $\frac{2 x - 1}{3 x + 1} \geq 1$ 的解集是 $[- 2 ， - \frac{1}{3})$ B、函数 $y = 2 x + \sqrt{x + 1}$ 的值域为 $[- 2 ， + \infty)$ C、若 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $m n + m + n = 3$ ，则 $m + n$ 的最小值为2 D、若一个直角三角形，斜边长为2，则它周长的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知集合 $M = {x | y = \frac{1}{x}}$ ， $N = {y | y = x^{2} - 1}$ ，则 $M ∩ N =$ .

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14. 设 $f (x) = a x^{2} + b x$ ，且 $1 \leq f (- 1) \leq 2$ ， $2 \leq f (1) \leq 4$ ，则 $f (2)$ 的最大值为.

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15. 某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区．已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 $(\frac{V}{20})$ ² km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是h(车身长度不计)．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a + 1) x + 2 a ， x < 1 \\ x^{2} + 2 (a - 1) x + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ 满足：对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，那么实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17.

(1)、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 2 \sqrt{x}$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $f (x)$ 是二次函数，且 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 4 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ， $x \in [3 ， 5]$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[3 ， 5]$ 上的最大值和最小值．

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19. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4$ ，在下列条件下，求实数 $a$ 的取值范围．

(1)、两根均大于1；

(2)、一个根大于1，一个根小于1．

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20.

(1)、对于满足 $0 \leq p \leq 4$ 的一切实数 $p$ ，不等式 $x^{2} + p x > 4 x + p - 3$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围．

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (3 a + 2) x + 6 a < 0$ 的解集．

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数，对一切正数上 $y$ 都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 成立，且 $f (3) = 1$ .

(1)、求 $f (1)$ 和 $f (81)$ 的值；

(2)、若 $f (x) + f (x - 8) \leq 2$ ，求 $x$ 的取值范围.

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22. 随着全球 $5 G$ 网络技术的不断升温，中美两国 $5 G$ 的技术较量已进人白热化阶段．某公司投资研究部研究表明：市场占有率 $y$ 与每日研发经费 $x$ （单位：亿元）有关，其公式为 $y = \frac{3 x}{2 x^{2} + m x + 2} (x > 0)$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，该公司的市场占有率超过 $\frac{2}{3}$ ，求此时每日研发经费 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $- 1 < m < 1$ ，该公司市场占有率的最大值为 $\frac{4}{5}$ ，求常数 $m$ 的值．

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