沪科版数学2022~2023学年年度九年级（上）期中考试模拟卷（A卷）

试卷更新日期：2022-10-26 类型：期中考试

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一、单选题（每题4分，共40分）

1. 下列函数中，是二次函数的是（）

A、 $y = \frac{5}{x}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = 2 x + 1$ D、 $2 y = x$

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2. 把抛物线y=-x²的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（）

A、y=-（x+1）²+3 B、y=-（x+1）²-3 C、y=-（x-1）²-3 D、y=-（x-1）²+3

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3. 已知二次函数 $y = - 4 {(x - 1)}^{2} + k$ 的图象上有三点 $A (\sqrt{2} ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ ， $C (5 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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4. 已知二次函数y=kx²-7x-7的图象和×轴有交点，则k的取值范围是（）

A、k> $- \frac{7}{4}$ B、k≥ $- \frac{7}{4}$ C、k≥ $- \frac{7}{4}$ 且k≠0 D、k> $- \frac{7}{4}$ 且k≠0

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5. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为0.618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为 $\sqrt{5}$ ，则该黄金矩形的宽是（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

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6. 在同一直角坐标系中，函数 $y ＝ a x ＋ a$ 和函数 $y ＝ a x^{2} ＋ x ＋ 2$ (a是常数，且a≠0)的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面 $2 m$ 时，水面宽 $4 m$ ，当水面宽增加 $(2 \sqrt{6} - 4) m$ 时，则水面应下降的高度是（）

A、 $2 m$ B、 $1 m$ C、 $\sqrt{6} m$ D、 $(\sqrt{6} - 2) m$

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8. 如图，四边形 $O A B C$ 中， $B C / / A O$ ， $A B ⊥ O A$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 经过点 $C$ ，交 $A B$ 的中点于 $D$ ， $O D$ 平分 $∠ C O A$ ，若 $B C = 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、12 B、 $8 \sqrt{2}$ C、8 D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E ，若BE=1，则EC=（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = - 1$ ，且过点 $(1 ， 0)$ ，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：① $a b > 0$ 且 $c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c > 0$ ；③ $8 a + c > 0$ ；④ $c = 3 a - 3 b$ ；⑤直线 $y = 2 x + 2$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 两个交点的横坐标分别为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} \cdot x_{2} = - 5$ ．其中正确的个数有（）

A、1个 B、3个 C、5个 D、2个

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二、填空题（共5题，共25分）

11. 抛物线y= $x^{2}$ +bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为.

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12. 如图，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限内交于点 $A$ ，过 $A$ 点的另一直线 $y = m x + n$ 交双曲线于第三象限内的点 $B$ ，则不等式 $m x + n < \frac{k}{x}$ 的解集是．

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13. 如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm² ．则y关于x的函数关系式为：（化简为一般式）．

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14. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点P在 $B A$ 的延长线上， $P A = \frac{1}{4} A B$ ，点D在 $B C$ 边上， $P D = P C$ ，则 $\frac{C D}{B C}$ 的值是.

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15. 抛物线 $y = a x^{2} - x + 1 (a \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有两个不同的交点，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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三、综合题（共8题，共85分）

16. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $h$ (单位： $m$ )与小球的运动时间 $t$ (单位： $s$ )之间的关系式是 $h = 30 t - 5 t^{2}$ ( $0 \leq t \leq 6$ )．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

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17. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $Δ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ .

(1)、求 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的周长为90，求各边的长.

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18. 如图，正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两点的坐标；

(2)、将直线 $y = x$ 向下平移 $a$ 个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，若 $\frac{C D}{D E} = \frac{1}{3}$ ，求 $a$ 的值．

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19. 如图，矩形ABCD的长AD＝5 cm，宽AB＝3 cm，长和宽都增加x cm，那么面积增加y cm².

(1)、写出y与x的函数关系式；

(2)、当增加的面积y＝20 cm²时，求相应的x是多少？

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20. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数y是时间x的一次函数.10分钟以后注意力指数y是x的反比例函数．

(1)、当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；

(2)、当10≤x≤40时，求y关于x的函数关系式；

(3)、如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果本节课讲完这道题不能超过多少分钟？

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21. 公路上正在行驶的甲车发现前方 $20 m$ 处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程 $s ($ 单位： $m)$ 、速度 $v ($ 单位： $m / s)$ 与时间 $t ($ 单位： $s)$ 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

(1)、直接写出 $s$ 关于 $t$ 的函数关系式和 $v$ 关于 $t$ 的函数关系式 $($ 不要求写出 $t$ 的取值范围 $)$

(2)、当甲车减速至 $9 m / s$ 时，它行驶的路程是多少？

(3)、若乙车以 $10 m / s$ 的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

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22. 冰墩墩是北京2022年冬季奥运会吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩挂件也很受欢迎，某小店的进货价为每个50元，当售价为每个92元时，每月可销售100个，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售10个．设每个挂件的售价为x元（x为正整数且 $x \leq 80$ ），每月的销售量为y个．

(1)、当售价为85时，每个月的销售量为；

(2)、设该店每月所获利润为w元，当降价多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？

(3)、该店店主热心公益事业，决定每月从出售的每个挂件中拿出6元资助贫困学生，且总捐款额不低于1500元，求捐款后每月最大利润．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + m$ （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.

(1)、求此抛物线的函数解析式.

(2)、点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.

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