（鲁教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学3.3二次函数y=ax2的图像和性质同步测试

试卷更新日期：2022-10-25 类型：同步测试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 1$ B、直线 $x = - 1$ C、直线 $x = 2$ D、直线 $x = - 2$

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2. 顶点在点M(﹣2，1)，且图象经过原点的二次函数解析式是（）

A、y＝(x﹣2)²+1 B、y＝﹣ $\frac{1}{4}$ (x+2)²+1 C、y＝(x+2)²+1 D、y＝ $\frac{1}{4}$ (x﹣2)²+1

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3.
观察下列四个函数的图象（）

将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，对应正确的是（）

A、①②③④ B、②③①④ C、③②④① D、④②①③

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4. 已知点A（-1，m），B（1，m），C（2，m-3）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（）

A、y=2x-3 B、y= $- \frac{2}{x}$ C、y=-2x² D、y=-x²

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5. 已知点 $(- 3 ， y_{1}) ， (- 1 ， y_{2}) ， (1 ， y_{3})$ 在下列某一函数图象上，且 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ 那么这个函数是（）

A、 $y = 3 x$ B、 $y = 3 x^{2}$ C、 $y = \frac{3}{x}$ D、 $y = - \frac{3}{x}$

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6. 直线 $y = m$ （m为常数）与函数 $y = {\begin{array}{l} x^{2} (x \leq 2) \\ \frac{4}{x} (x > 2) \end{array}$ 的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是（）

A、 $0 < m \leq 4$ B、 $0 < m < 4$ C、 $0 < m < 2$ D、 $2 < m < 4$

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7. 若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点 $(- 1 ， 1)$ ；②函数图象经过第四象限；③当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大.则这个函数的表达式可能是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2}$

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8. 从下列4个函数①y＝3x﹣2；②y＝－ $\frac{7}{x}$ （x＞0）；③y＝ $\frac{5}{x}$ ；④y＝﹣x²（x＜0）中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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9. 如图，点A（a，b）是抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（　　）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣3）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）

A、y＝x B、y＝﹣ $\frac{2}{x}$ C、y＝x² D、y＝﹣x²

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二、填空题

11. 二次函数 $y = x^{2}$ 的图象如图所示，点 $A_{0}$ 位于坐标原点，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{2020}$ 在y轴的正半轴上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …， $B_{2020}$ 在二次函数 $y = x^{2}$ 位于第一象限的图象上， $△ A_{0} B_{1} A_{1}$ ， $△ A_{1} B_{2} A_{2}$ ， …， $△ A_{2019} B_{2020} A_{2020}$ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则 $△ A_{2020} B_{2021} A_{2021}$ 的斜边长为．

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12. 二次函数y＝3x²的图象经过点A（﹣1，y₁），B（2，y₂），则y₁y₂.（填“＞”“＜”或“＝”）

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13. 已知抛物线y＝ax²（a≠0）过点（﹣2，4），则当x≤0时，y随x的增大而 .

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14. 三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x， $y = \frac{3}{x}$ ，y=x² ，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是.

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15. 对称轴为 $x = 1$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 如图所示，与x 轴分别交于点 $(m ， 0)$ ， $(n ， 0)$ ， $m < n$ ，有下列五个结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b + c < 0$ ；③ $a t^{2} + b t \geq a + b$ （t为实数）；④当 $x < \frac{3}{2}$ 时，y随x增大而增大；⑤若方程 $a x^{2} + b x + c - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} > m$ ， $x_{2} < n$ ．其中结论错误的是．

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三、综合题

16. 已知抛物线y＝ax²经过点A(2，1)．

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；

(3)、抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

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17. 在平面直角坐标系中已知抛物线 $L_{1} ： y ＝ a x^{2} ＋ b x － 3$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B （ 3 ， 0 ）$ ，点D为抛物线的顶点.

(1)、求抛物线 $L_{1}$ 的表达式及点D的坐标；

(2)、将抛物线 $L_{1}$ 关于点 $A$ 对称后的抛物线记作 $L_{2}$ ，抛物线 $L_{2}$ 的顶点记作点E，求抛物线 $L_{2}$ 的表达式及点 $E$ 的坐标；

(3)、是否在 $x$ 轴上存在一点 $P$ ，在抛物线 $L_{2}$ 上存在一点 $Q$ ，使 $D 、 E 、 P 、 Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 $Q$ 点坐标，若不存在，请说明理由.

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18. 已知二次函数y＝ax² ，当x＝3时，y＝3.

(1)、求当x＝﹣2时，y的值.

(2)、写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.

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19. 已知点（3，13）在函数y＝ax²+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．

(1)、求a ， b的值；

(2)、如果点（6，m），（n ， 20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，|x﹣y|），则称点Q为点P的“关联点”．

(1)、请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；

(2)、如果点P在函数y＝x﹣1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；

(3)、如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y＝x²的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

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21. 已知，直线 $y = - 2 x + 3$ 与抛物线 $y = a x^{2}$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A$ 的坐标是 $(- 3, m)$

(1)、求 $a$ ， $m$ 的值；

(2)、抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．

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22. 已知 $y = (m + 2) x^{m^{2} + m - 4} + 1$ 是关于x的二次函数.

(1)、满足条件的m的值；

(2)、m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)、m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？

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23. 已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”。

(1)、①如图2，求出抛物线y=x²的“完美三角形”斜边AB的长；
②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y=x²+1的“完美三角形”全等；

(2)、若抛物线y=ax²+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；

(3)、若抛物线y=mx²+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx²+2x+n−5的最大值为−1，求m，n的值。

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一、单选题

二、填空题

三、综合题

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