（苏科版）2022-2023学年九年级数学下册5.4二次函数与一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2022-10-25 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 对于题目：在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{4}{5} x + 4$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A 、 B$ 两点，过点 $A$ 且平行 $y$ 轴的直线与过点 $B$ 且平行 $x$ 轴的直线相交于点 $C$ ，若抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 与线段 $B C$ 有唯一公共点，求 $a$ 的取值范围.甲的计算结果是 $a \geq \frac{1}{3}$ ；乙的计算结果是 $a < - \frac{4}{3}$ ，则（）

A、甲的结果正确 B、乙的结果正确 C、甲与乙的结果合在一起正确 D、甲与乙的结果合在一起也不正确

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2. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)和(0，3)两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（）
①不等式ax²＋c＜－bx的解集为x＜－1或x＞3；②9a²－b²＜0；③一元二次方程cx²＋bx＋a＝0的两个根分别为x₁＝，x₂＝－1；④6≤3n－2≤10．

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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3. 二次函数y＝ax²+（1﹣a）x+4﹣2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、与y轴交点的纵坐标小于4 B、对称轴在直线x＝0.5左侧 C、与x轴正半轴交点的横坐标小于2 D、抛物线一定经过两个定点

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象的对称轴为直线 $x = - 1$ ，部分图象如图所示，下列结论中：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $4 a + c > 0$ ；④若 $t$ 为任意实数，则有 $a - b t \leq a t^{2} + b$ ；⑤当图象经过点 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c - 2 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = - \frac{3}{2}$ ，其中正确的结论有（）

A、①②③ B、②③⑤ C、②③④⑤ D、②③④

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5. 对于抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，下列判断错误的是（）

A、对称轴是直线 $x = - 1$ B、与x轴有两个交点 C、开口向上 D、与y轴在的交点在x轴下方

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6. 方程 $7 x^{2} - (k + 13) x + k^{2} - k - 2 = 0$ （k是实数）有两个实根 $α$ 、 $β$ ，且 $0 < α < 1$ ， $1 < β < 2$ ，那么k的取值范围是（）

A、 $3 < k < 4$ B、 $- 2 < k < - 1$ C、 $3 < k < 4$ 或 $- 2 < k < - 1$ D、无解

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7. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ，y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x₁和x₂ ，且x₁＜x₂ ，则x₁＜﹣1＜5＜x₂.其中正确的结论有（）.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx²﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B.若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（）

A、 $\frac{1}{9}$ ＜m≤ $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{9}$ ≤m＜ $\frac{1}{4}$ C、0＜m＜ $\frac{1}{4}$ D、0＜m≤ $\frac{1}{9}$

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9. 二次函数

y = a x^{2} + b x + c

，自变量

x

与函数

y

的对应值如下表:

x	…	-5	-4	-3	-2	-1	0	…
y	…	4	0	-2	-2	0	4	…

下列说法正确的是( )

A、抛物线的开口向下 B、当

x > - 3

时，y随x的增大而增大 C、二次函数的最小值是-2 D、抛物线的对称轴是x=

- \frac{5}{2}

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10. 若二次函数y=ax²+1图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）²+1=0实数根为（）

A、x₁=0，x₂=4 B、x₁=-2，x₂=6 C、x₁= $\frac{3}{2}$ ，x₂= $\frac{5}{2}$ D、x₁=-4，x₂=0

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 将抛物线y＝（x+1）²﹣2向右平移1单位，得到的抛物线与y轴的交点的坐标是．

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12. 若一元二次方程2x²﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是.

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13. 现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组 ${\begin{matrix} 2 a + b = k + 1 \\ a + 2 b = 2 \end{matrix}$ 的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x²﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为.

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14. 如图是二次函数y＝ax²﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax²﹣bx＋c＜0的解集是.

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示.对称轴为 $x = 1$ ，图象过点A，且 $9 a + 3 b + c = 0$ ，以下结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③关于x不等式 $- a x^{2} + 2 a x - c > 0$ 的解集： $- 1 < x < 3$ ；④ $c > - 3 a$ ；⑤若点 $B (m ， y_{1})$ ， $C (2 - m ， y_{2})$ 在此函数图象上，则 $y_{1} = y_{2}$ .其中正确的结论是.

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三、解答题（共8题，共55分）

16. 如图，已知二次函数y=﹣x²+bx﹣6的图象与x轴交于一点A（2，0），与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

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17. 抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），且过点（1，4），并直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．

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18. 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．求该抛物线的解析式．

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19.
如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．
（1）求点B、点D的坐标，
（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．

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20. 已知二次函数y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
（3）将抛物线y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．

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21. 已知：关于x的函数y=kx²+k²x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．

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22. 抛物线y=x²+bx+c过点（2，-2）和（-1，10），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．

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23.
已知二次函数y=﹣ $\frac{1}{4}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式．

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（苏科版）2022-2023学年九年级数学下册5.4二次函数与一元二次方程 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共55分）

（苏科版）2022-2023学年九年级数学下册5.4二次函数与一元二次方程同步测试