（苏科版）2022-2023学年九年级数学下册5.2二次函数的图像和性质同步测试

试卷更新日期：2022-10-25 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，那么下列判断中：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b > 0$ ；③ $4 a - 2 b + c < 0$ ；④ $3 a + c > 0$ ；⑤ $c - a > 2$ .正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 下列二次函数的图象经过原点的是（）

A、y=x²+1 B、y=x²+x C、y=（x+1）² D、y=x²-2x+1

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3. 若A（﹣6，y₁），B（﹣3，y₂），C（1，y₃）为二次函数y＝2x²﹣1图象上的三点，则y₃ ， y₂ ， y₁的大小关系是（）

A、y₃＜y₂＜y₁ B、y₂＜y₃＜y₁ C、y₃＜y₁＜y₂ D、y₂＜y₁＜y₃

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4. 小明研究二次函数 $y = x^{2} -2bx + 3$ （b为常数）性质时，得到如下结论：
①对于任意实数m，m（m-2b）≥1-2b始终成立，则b＝1；②这个函数的顶点始终在抛物线 $y = {-x}^{2} + 3$ 上；③在-1≤x≤5范围内，y的值最大时，x＝-1，点（m₁ ， p）与点（m₂ ， p）（m₁≠m₂）在这个函数图象上，则m₁＋m₂＞4；④点（b-2n，y₁）与点（b＋n，y₂）（n≠0）在这个函数图象上，则y₁＜y₂其中错误的结论个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 把抛物线y=2x²向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

A、y=2x² + 1 B、y=2x²-1 C、y= $2 {(x + 1)}^{2}$ D、y= $2 {(x - 1)}^{2}$

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6. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：
①abc＜0，②2a+b＞0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 抛物线 $y = - {(x - 2)}^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、(2，-3) B、(-2，3) C、(2，3) D、(-2，-3)

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2 (a 、 b$ 是常数， $a \neq 0)$ 的图象经过点 $(2 ， 1)$ 和 $(4 ， - 2)$ ，且当 $0 ⩽ x ⩽ m$ 时，函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的最小值为 $- 2$ ，最大值为1，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 ⩽ m ⩽ 0$ B、 $2 ⩽ m < \frac{7}{2}$ C、 $2 ⩽ m ⩽ 4$ D、 $m ⩾ 2$

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9. 直线y =a x+b经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（）

A、 $\sqrt{{(a + b)}^{2}} = a + b$ B、反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ ，当x > 0时的函数值y随x增大而减小 C、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根之和大于零 D、抛物线 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的对称轴过第一、四象限

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10. 如图所示，当b＜0时，函数y＝ax+b与y＝ax²+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 3 c m$ ， $A D = 6 c m$ ，点P为边AD上一个动点，连接CP，点P绕点C顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $P^{'}$ ，连接 $C P^{'}$ 并延长到点E，使 $C E = 2 C P^{'}$ ，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接DE、DF，则 $△ D E F$ 和 $△ D C E$ 面积之和的最小值为.

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12. 二次函数y＝2x²﹣4x+4的顶点坐标是 .

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13. 已知抛物线y= $x^{2}$ + bx + 4经过(-2，n)和(4，n)两点，则b的值为.

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14. 若点(0，a)，(4，b)都在抛物线y=(x-2)²上，则a b(填“>”，“<”，“=”

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15. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）.则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为.

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三、解答题（共8题，共55分）

16. 某学生为了描点作出函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，取了自变量的7个值，x₁＜x₂＜…＜x₇且x₂﹣x₁=x₃﹣x₂=…=x₇﹣x₆ ，分别算出对应的y的值，列出如表；
X
x₁
x₂
x₃
x₄
x₅
x₆
x₇
y
51
107
185
285
407
549
717
但由于粗心算出了其中一个y的值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由．

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17. 把二次函数y=x²﹣2x+3配方成y=a（x﹣k）²+h的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．

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18. y=﹣2x²+4x+1，且2≤x≤4，求y的最大值，如有最小值，再求出最小值．

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19. 已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x²+bx+c上．
（1）若b=1，c=3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x²+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x﹣1，x²+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．

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20. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），（ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y= $\frac{n}{x}$ （n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+k﹣ $\frac{1}{3}$ ， y=nx+2（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值；
（3）若二次函数y=ax²﹣ax+1（a是常数）的图象上存在两个“梦之点”A（x₁ ， x₁），B（x₂ ， x₂），且|x₁﹣x₂|=2，试求二次函数的顶点坐标．

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21. 已知抛物线y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=﹣1，则该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0）和（ $\frac{1}{3}$ ， 0）
（2）若a= $\frac{1}{3}$ ， c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，则b=3；
（3）若a+b+c=1，存在实数x，使得相应的y的值为1．
请你判断以上三个命题的真假，并说出理由．

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22.
△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12.点P在AB上，点Q在AC上.如图9-33，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y.

（1）当RS落在BC上时，求x；
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；
（3）求公共部分面积的最大值.

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23.
（1）已知二次函数y=x²-2x-3，请你化成y=(x-h)²+k的形式，并在直角坐标系中画出y=x²-2x-3的图象；
（2）如果A(x₁ ， y₁)，B(x₂ ， y₂)是（1）中图象上的两点，且x₁<x₂<1，请直接写出y₁、y₂的大小关系；
（3）利用（1）中的图象表示出方程x²-2x-1=0的根来，要求保留画图痕迹，说明结果．

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X	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
y	51	107	185	285	407	549	717

（苏科版）2022-2023学年九年级数学下册5.2二次函数的图像和性质 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共55分）

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