（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册第二章二次函数同步测试

试卷更新日期：2022-10-24 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列函数是二次函数的是（）

A、y=2x﹣3 B、y=x^﹣¹+1 C、y=x² D、y= $\frac{3}{x^{2}}$ +1

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2. 某厂今年七月份产品的产量为100吨，以后每月产品的产量与上月相比其增长率都是x，设九月份该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（）

A、y=100（1﹣x）² B、y=100（1+x）² C、y= $\frac{100}{{(1 + x)}^{2}}$ D、y=100+100（1+x）+100（1+x）²

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3. 关于抛物线y=3（x－1）²＋2，下列说法错误的是（　　）

A、开口方向向上 B、对称轴是直线x=l C、顶点坐标为（1，2） D、当x＞1时，y随x的增大而减小

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4. 已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + (a - 2)$ ， a是常数，且 $a < 0$ ，下列选项中可能是它大致图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）中的 $x$ 与 $y$ 的部分对应值如表：

$x$

···

$- 1$

$0$

$1$

$3$

···

$y$

···

$- 1$

$3$

$5$

$3$

···

下列结论错误的是（）

A、 $a c < 0$ B、 $3$ 是关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c = 0$ 的一个根； C、当 $x > 1$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小； D、当 $- 1 < x < 3$ 时， $a x^{2} + (b - 1) x + c > 0.$

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6. 把二次函数y=﹣2x²﹣4x+3用配方法化成y=a（x﹣h）²+k的形式（）

A、y=﹣2（x+1）²+5 B、y=﹣2（x﹣1）²+5 C、y=﹣2（x+2）²+5 D、y=2（x+1）²+5

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7. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE=CF=xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（）

A、12.5cm B、10cm C、7.5cm D、5cm

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8. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A、此抛物线的解析式是y=﹣ $\frac{1}{5}$ x²+3.5 B、篮圈中心的坐标是（4，3.05） C、此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D、篮球出手时离地面的高度是2m

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9. 抛物线y=2x²－2 $\sqrt{2}$ x+1与坐标轴的交点个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：

x

…

﹣1

0

1

2

3

…

y＝ax²+bx+c

…

p

t

n

t

0

…

有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax²+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）.其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．

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12. 平移抛物线y=2x² ，使其顶点为（2，3），平移后的抛物线是

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13. 在二次函数y=-x²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表．

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y

-14

-7

-2

2

m

n

-7

-14

则m-n的值为．

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14. 如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝m．

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15. 已知抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²-2x- $\frac{1}{2}$ m-1（m为常数，nm>0）与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），点P为抛物线在第四象限上的一点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点D在对称轴上，PD=m，取HD的中点C，连结CP、P若PR平分∠BPC；BP=2PC；则m=.

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三、解答题（共8题，共55分）

16. 关于x的函数y=（m²﹣1）x²﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

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17.
已知抛物线y=ax²+bx+c如图所示，请结合图象中所给信息完成以下问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）若该抛物线经过一次平移后过原点O，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式．

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18. 对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值x₁和x₂ ，它们的对应函数值分别为y₁和y₂ ．若x₂＞x₁时，有y₂＞y₁ ，则称该函数单调递增；若x₂＞x₁时，有y₂＜y₁ ，则称该函数单调递减．例如二次函数y=x² ，在x≥0时，该函数单调递增；在x≤0时，该函数单调递减．
（1）二次函数：y=（x+1）²+2自变量x在哪个范围内，该函数单调递减？
（2）证明：函数：y=x﹣ $\frac{1}{x}$ 在x＞1的函数范围内，该函数单调递增．
（3）若存在两个关于x的一次函数，分别记为：g=k₁x+b₁和h=k₂x+b₂ ，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函数y=g+h，则比例系数k₁和k₂满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？

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19. 已知二次函数y₁=ax²+bx+c和一次函数y₂=mx+n的图象交于两点A（﹣2，﹣5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式．

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20. 某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．

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21.
如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1．
（1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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22.
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与轴交于点C，tan∠CBA= $\frac{1}{2}$ ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；
（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．

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23. 已知：二次函数y=（n﹣1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；
（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；
（3）若y关于x的函数关系式为y=nx²﹣m²x﹣2n﹣2
①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．

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$x$	···	$- 1$	$0$	$1$	$3$	···
$y$	···	$- 1$	$3$	$5$	$3$	···

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
y＝ax²+bx+c	…	p	t	n	t	0	…

x	-3	-2	-1	1	2	3	4	5
y	-14	-7	-2	2	m	n	-7	-14

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册第二章 二次函数 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共55分）

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册第二章二次函数同步测试