（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2022-10-24 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线 $x = - 1$ .有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a c - b^{2} < 0$ ；③ $c - a > 0$ ；④当 $x = - n^{2} - 2$ 时， $y \geq c$ ；⑤若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根，则方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) - 1 = 0$ 的两根m、n（m＜n）满足 $m < x_{1}$ ，且 $n > x_{2}$ .其中，正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（　　）

A、b﹣a B、a﹣b C、a+b﹣2c D、2c﹣a﹣b

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3. 在平面直角坐标系中，已知点A（-2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax²-2x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）

A、 $- \frac{9}{16} < a \leq - \frac{1}{2} 或 a \geq 1$ B、 $a \geq - \frac{1}{2} 或 a < - \frac{9}{16}$ C、 $- \frac{1}{2} \leq a \leq 1 且 a \neq 0$ D、a≤-1/2或a≥1

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4. 对于函数y= =ax²-（a+1）x+1，甲和乙分别得出一个结论：
甲：若该函数图象与x轴只有一个交点，则a=1；

乙：方程ax²- （a+1）x+1=0至少有一个整数根．

甲和乙所得结论的正确性应是（）

A、只有甲正确 B、只有乙正确 C、甲乙都正确 D、甲乙都不正确

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5. 如图，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ 和 $(m ， 0)$ ，请思考下列判断：
① $a b c < 0$ ；② $4 a + c < 2 b$ ；③ $\frac{b}{c} = 1 - \frac{1}{m}$ ；④ $a m^{2} + (2 a + b) m + a + b + c < 0$ ；⑤ $| a m + a | = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ .
正确的是（）

A、①③⑤ B、①③④ C、①②③④⑤ D、①②③⑤

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6. 已知二次函数 $y = (x - \frac{1}{m}) (mx - 4 m)$ (其中 $m > 0$ )，下列说法正确的是（）

A、当 $x > 2$ 时，都有 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大 B、当 $x < 3$ 时，都有 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小 C、若 $x < n$ 时，都有 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，则 $n \geq 2 + \frac{1}{2 m}$ D、若 $x < n$ 时，都有 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，则 $n \leq 2 + \frac{1}{2 m}$

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7. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a＋b=0；②9a＋c>3b；③8a＋7b＋2c>0；④若点A（-3，y₁）、点B（ $- \frac{1}{2}$ ，y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ，y₃）在该函数图象上，则 y₁<y₃<y₁ ；⑤若方程 $a (x + 1) (x - 5) = - 3$ 的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} < - 1 < x_{2}$ ；⑥ $\frac{4 a}{b} + \frac{b}{a} = - 4$ .其中正确的结论有（）个

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 对于每个非零自然数n，抛物线 $y = x^{2} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} x - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}$ 与x轴交于 $A_{n}$ ， $B_{n}$ 两点，以 $A_{n} B_{n}$ 表示这两点之间的距离，则 $A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} + A_{4} B_{4} \dots + A_{2021} B_{2021}$ 的值是（）

A、 $\frac{1010}{1011}$ B、 $\frac{1009}{1010}$ C、 $\frac{505}{1011}$ D、1

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9. 已知抛物线 $y = x^{2} - x - 1$ 与x轴的一个交点为 $(m ， 0)$ ，则代数式 $m^{2} - m + 2020$ 的值为（）

A、2018 B、2019 C、2020 D、2021

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10. 已知函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ ，（a、b、c为常数），如图所示，y₂=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误的一个结论为（）

A、 $a < 0 ， b > 0 ， c > 0$ B、当x＞3时，ax+b＜0 C、当x＞2时，y₁＞y₂. D、 $a x^{2} + b x + c = a x + b$ 有两个不同的解

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 已知，二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，规定 $y^{'} = | y |$ ，若使 $y^{'} = a$ 的正数x有且只有三个，则a的取值范围是.

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12. 二次函数 $y = x^{2} + b x$ 的对称轴为 $x = - 1$ ，若关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x - t = 0$ (t为实数)在-4<x<1的范围内有解，则t的取值范围是．

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13. 已知抛物线y＝ax²+bx+c与坐标轴有且只有两个公共点，对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，﹣1），下列四个结论：①9a+3b+c＝﹣1；②3b﹣2c＝2；③若（m，y₁），（4﹣m，y₂）是抛物线上的两点，且y₁＞y₂则m＜2；④a＝﹣ $\frac{1}{4}$ ，其中正确的结论是 .

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14. 如图，二次函数y＝ax²+bx﹣c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＜0；④b²-4ac＞0.其中正确结论的个数是个.

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15. 抛物线 $y = - x^{2} + 4 x + c$ 向右平移一个单位得到的抛物线恰好经过原点，则c.

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三、解答题（共8题，共55分）

16. 二次函数y=x²﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求S_△_ABC的面积．

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17. 已知抛物线y=﹣ + 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，求CD的长．

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18. 已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过点A（﹣3，﹣6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为P．

(1)、求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

(2)、设点D为线段OC上一点，且∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．

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19. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）且过（1，﹣2）．求该二次函数的表达式．

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20. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

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21. 使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x²﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．

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22.
已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．

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23.
如图，一次函数y₁=kx+1与二次函数y₂=ax²+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣ $\frac{3}{2}$ ．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax²+bx﹣2的解集．

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（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共55分）

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